Matematica per le superiori/La parabola

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La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco ed una retta detta direttrice.

[modifica] Equazione generica

Una parabola con vertice nell'origine ha equazione:
$y = a x 2$

Il valore di a nella rappresentazione grafica corrisponde all'ampiezza della parabola: più a è grande più stretta sarà la parabola, più è piccolo più la parabola sarà aperta e somigliante ad una retta orizzontale (infatti con a=0 si ottiene y=0, l'asse delle x). Quando a è positivo il vertice è il punto più basso della parabola, quando è negativo il più alto.

Per spostare il vertice dall'origine si può immaginare una traslazione, ottenendo l'equazione generica esplicita della parabola:
$(y - y v) = a (x - x v) 2$

Spesso tuttavia l'equazione si trova in forma implicita (con i calcoli sviluppati):
$y = a (x - x v) 2 + y v$
$y = ax^2 + 2ax_vx + ax_v^2 + y_v$
$y = a x 2 + b y + c$
in cui
$b = 2 a x v$
$c = ax_v^2 + y_v$

c rappresenta l'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate (infatti quando x=0 y=c).

È comunque possibile ricostruire le coordinate del vertice anche a partire dalla forma implicita:
$b = - 2 a x v$ $x_v = -\frac{b}{2a}$
$c = ax_v^2 + y_v$ $y_v = c - ax_v^2 = c - a(-\frac{b}{2a})^2 = c - a\frac{b^2}{4a^2} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}$
$v\left ( -\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right )$

Per trovare il fuoco e la direttrice si utilizzano invece le seguenti formule:

$F\left ( x_v; y_v + \frac{1}{4a} \right )$

$d: y = y_v - \frac{1}{4a}$

[modifica] Rette tangenti alla parabola

Una tangente è una retta che incrocia la curva in un punto solo. La si può trovare partendo da un punto della retta esterno o appartenente alla parabola (da un punto interno non possono passare tangenti).

Punto esterno, due tangenti: l'unico metodo per trovare le tangenti che passano per un punto esterno alla parabola è mettere a sistema la parabola ed il fascio per P imponendo che il delta sia ugualea 0 (un'unica soluzione comune alle due equazioni, che nel grafico corrisponde ad una sola intersezione tra le due funzioni)

Punto appartenente alla parabola: per trovare le rette tangenti in un punto appartenente alla parabola si può usare una formula apposita, ricavata in questo modo:

$\left\{\begin{matrix} \begin{align} & y = ax^2 + by + c \\ & y - y_0 = m(x - x_0) \end{align} \end{matrix}\right.$ (sistema tra una parabola generica ed una retta generica)

$\left\{\begin{matrix} \begin{align} & y = ax^2 + by + c \\ & y = mx - mx_0 + y_0 \end{align} \end{matrix}\right.$

$m x - m x 0 + y 0 = a x 2 + b y + c$

$a x 2 + (b - m) x + c + m x 0 - y 0 = 0$

$x 1 = x 2 = x 0$ (L'equazione ha due soluzioni coincidenti con $x 0$ )

$x_1 + x_2 = -\frac{b - m}{a} = 2x_0$

$\frac{m-b}{a} = 2x_0$

$m = 2 a x 0 + b$

In questo modo si ottiene il coefficiente angolare della retta tangente; per trovare il valore di q sarà sufficiente sostituire le coordinate del punto di tangenza nell'equazione generica $y = m x + q$ e ricavare q ( $q = y - m x$ ).

[modifica] Parabole con asse orizzontale

Le parabole con asse orizzontale hanno:

Equazione generica $x - x v = a (y - y v) 2$ o $x = a y 2 + b y + c$ . a rappresenta sempre l'apertura e l'orientamento, c l'intersezione con l'asse delle ascisse.
$y_v = -\frac{b}{2a}$
$F\left ( x_v + \frac{1}{4a}; y_v \right )$
$d: x = x_v - \frac{1}{4a}$