Matematica per le superiori/L'iperbole

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L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

[modifica] Equazione generica

Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:

F_1 ( -c ; 0 ) \,
F_1 ( -c ; 0 ) \,

L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:

\left | PF_1 - PF_2 \right | = 2a

Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo 2a.

Sviluppando avremo:

\left | \sqrt{(x-c)^2 + y^2} - \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \right | = 2a
\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x+c)^2 + y^2}
(x-c)^2 +y^2 = 4a^2 +(x+c)^2 +y^2 +4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}
x^2 + c^2 -2cx -4a^2 -x^2 -c^2 -2cx = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}
-4cx -4a^2 = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}
c^2x^2 +a^4 +2a^2cx = a^2x^2 +a^2c^2 +2a^2cx +a^2y^2 \,
x^2(c^2-a^2) -a^2y^2 = a^2c^2 -a^2 \,
\frac{x^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)} -\frac{a^2y^2}{a^2(c^2-a^2)} = \frac{a^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}
\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{c^2-a^2} = 1

Per comodità possiamo porre:

b^2 = c^2-a^2 \,

e avremo quindi:

\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1

Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.

[modifica] Centro e punti notevoli

Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:

\frac{ (-x)^2}{a^2} -\frac{ (-y)^2}{b^2} = 1
\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1

Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:

\left\{\begin{matrix} \begin{align} & \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1 \\ & y = 0 \\ \end{align} \end{matrix}\right.
\frac{x^2}{a^2} = 1
x2 = a2
x = \pm a

I vertici saranno pertanto: V(a;0) e V( − a;0)

[modifica] Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate

Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta y = x. L'equazione diventerà quindi:

\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1

Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

\frac{(x - x_c)^2}{a^2} -\frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1


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