Matematica per le superiori/Funzioni
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Si dice funzione una relazione nella quale ad ogni elemento del primo insieme, chiamato dominio, corrisponde uno e un solo elemento nel secondo insieme, chiamato codominio.
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[modifica] Definizioni
In termini formali possiamo scrivere una funzione generica:
Ovvero: è definita la funzione f con dominio in A e codominio in B che a x associa f(x), dove f(x) è l'elemento del codominio associato da x. f(x) è chiamato immagine di x; x ed è a sua volta controimmagine di f(x).
Ad esempio:
Abbiamo definito una funzione f da R in R che associa ad ogni numero reale il suo successivo numero reale; ad esempio, a 1 associa 2, ovvero l'immagine dell'elemento 1 è 2 e la controimmagine in A dell'elemento 2 appartenente a B è 1. Potremo scrivere:
- f(1) = 2
Per ogni funzione è possibile definire il cosiddetto insieme immagini cioè l'insieme degli elementi del codominio che hanno una controimmagine nel dominio, cioè l'insieme delle immagini della funzione.
Prendiamo come esempio un'altra funzione:
Questa funzione g associa ad ogni numero reale il precedente del suo quadrato. Ad esempio g(1) = 0, g(3) = 8 e g(12) = 143; possiamo notare però ad esempio che g(-0) = -1 e g(-5) = 24, ossia che il valore di g(x) non sarà mai un numero minore di -1, in quanto x2 è sempre positivo o nel peggiore dei casi nullo (e di conseguenza x2 -1 sarà sempre maggiore o uguale a -1). In questo caso possiamo dire che l'insieme immagini della funzione g non combacia con il codominio: nel nostro caso infatti equivale a [-1; +&infinity;) (ovvero, tutti i numeri compresi tra -1 e infinito). In altri termini, tutti gli elementi minori di -1 non hanno una controimmagine nel dominio, in quanto non è possibile arrivare ad essi applicando la funzione ad R.
[modifica] Caratteristiche
[modifica] Funzione inversa
[modifica] Composizione di funzioni
[modifica] Grafici e funzioni
