Matematica per le superiori/L'ellisse

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L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

[modifica] Equazione generica

Fig. 1

L'equazione generica dell'ellisse può essere dedotta dal suo significato geometrico:
$P F 1 = a - ( - c) = a + c$
$PF_1 = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
$P F 2 = a - (c) = a - c$
$PF_2 = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$
$P F 1 + P F 2 = a + c + a - c = 2 a$

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$
$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
$(x-c)^2 + y^2 = 4a^2 +(x+c)^2 +y^2 -4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
$x^2 + c^2 -2cx = 4a^2 + x^2 + c^2 + 2cx -4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
$-4cx -4a^2 = -4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
$-cx -a^2 = -a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
$c 2 x 2 + a 4 + 2 a 2 c x = a 2 ((x + c) 2 + y 2)$
$c 2 x 2 + a 4 + 2 a 2 c x = + a 2 x 2 + a 2 c 2 + 2 a 2 c x + a 2 y 2$
$c 2 x 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2$
$x 2 (a 2 - c 2) + a 2 y 2 = a 4 - a 2 c 2$
$x 2 (a 2 - c 2) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 - c 2)$
Ponendo:

$b 2 = a 2 - c 2$

si ha: $b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2$

$\frac{b^2x^2}{a^2b^2}+\frac{a^2y^2}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2b^2}$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

È quindi possibile operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

$\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2} = 1$

Fig. 2

Nel grafico il valore di a corrisponde a metà dell'estensione orizzontale dell'ellisse, mentre il valore di b a metà di quella verticale.
c può essere ricavato dall'equazione $se(a>b)allora :c^2=a^2-b^2 quindi :c=\sqrt{a^2-b^2}$ .

$se(a<b)allora:c^2=b^2-a^2 quindi:c=\sqrt{b^2-a^2}$ .

Un altro valore chiamato eccentricità indica quanto l'ellisse è allungata.

Se i fuochi sono sull'asse x allora $e=\frac{c}{a}$ .

Se invece i fuochi sono sull'asse y allora $e=\frac{c}{b}$ .

[modifica] Completamento del quadrato

A volte capita che l'equazione si trovi espressa in forma implicita, come nel caso seguente:
$x 2 - 2 x x c + y 2 - 2 y y c = 0$
Bisogna allora ricostruire i quadrati aggiungendo i termini mancanti:
$x^2 -2xx_c +x_c^2 +y^2 -2yy_c +y_c^2= x_c^2 +y_c^2$
Occorre prestare attenzione a portare fuori dalle parentesi eventuali coefficienti di x e y, che determinano il valore di a e b, e quindi dividere il tutto per il valore a destra.

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