Matematica per le superiori/La parabola

La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco ed una retta detta direttrice.

Equazione generica

Una parabola con vertice nell'origine ha equazione:
$y=ax^{2}$

• Il valore di a nella rappresentazione grafica corrisponde all'ampiezza della parabola: più a è grande più stretta sarà la parabola, più è piccolo più la parabola sarà aperta e somigliante ad una retta orizzontale (infatti con a=0 si ottiene y=0, l'asse delle x). Quando a è positivo il vertice è il punto più basso della parabola, quando è negativo il più alto.

Per spostare il vertice dall'origine si può immaginare una traslazione, ottenendo l'equazione generica esplicita della parabola:
$(y-y_{v})=a(x-x_{v})^{2}$

Spesso tuttavia l'equazione si trova in forma implicita (con i calcoli sviluppati):
$y=a(x-x_{v})^{2}+y_{v}$
$y=ax^{2}+2ax_{v}x+ax_{v}^{2}+y_{v}$
$y=ax^{2}+bx+c$
in cui
$b=2ax_{v}$
$c=ax_{v}^{2}+y_{v}$

• c rappresenta l'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate (infatti quando x=0 y=c).

È comunque possibile ricostruire le coordinate del vertice anche a partire dalla forma implicita:
$b=-2ax_{v}$ $x_{v}=-{\frac {b}{2a}}$
$c=ax_{v}^{2}+y_{v}$ $y_{v}=c-ax_{v}^{2}=c-a(-{\frac {b}{2a}})^{2}=c-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}}$
$v\left(-{\frac {b}{2a}};-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$

Per trovare il fuoco e la direttrice si utilizzano invece le seguenti formule:

$F\left(x_{v};y_{v}+{\frac {1}{4a}}\right)$

$d:y=y_{v}-{\frac {1}{4a}}$

Rette tangenti alla parabola

Una tangente è una retta che incrocia la curva in un punto solo. La si può trovare partendo da un punto della retta esterno o appartenente alla parabola (da un punto interno non possono passare tangenti).

• Punto esterno, due tangenti: l'unico metodo per trovare le tangenti che passano per un punto esterno alla parabola è mettere a sistema la parabola ed il fascio per P imponendo che il delta sia ugualea 0 (un'unica soluzione comune alle due equazioni, che nel grafico corrisponde ad una sola intersezione tra le due funzioni)

• Punto appartenente alla parabola: per trovare le rette tangenti in un punto appartenente alla parabola si può usare una formula apposita, ricavata in questo modo:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=ax^{2}+bx+c\\&y-y_{0}=m(x-x_{0})\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$ (sistema tra una parabola generica ed una retta generica)

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=ax^{2}+bx+c\\&y=mx-mx_{0}+y_{0}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$mx-mx_{0}+y_{0}=ax^{2}+bx+c$

$ax^{2}+(b-m)x+c+mx_{0}-y_{0}=0$

$x_{1}=x_{2}=x_{0}$ (L'equazione ha due soluzioni coincidenti con $x_{0}$)

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b-m}{a}}=2x_{0}$

${\frac {m-b}{a}}=2x_{0}$

$m=2ax_{0}+b$

In questo modo si ottiene il coefficiente angolare della retta tangente; per trovare il valore di q sarà sufficiente sostituire le coordinate del punto di tangenza nell'equazione generica $y=mx+q$ e ricavare q ($q=y-mx$).

Parabole con asse di simmetria parallelo all'asse x

Le parabole con asse orizzontale hanno:

• Equazione generica $x-x_{v}=a(y-y_{v})^{2}$ o $x=ay^{2}+by+c$. a rappresenta sempre l'apertura e l'orientamento, c l'intersezione con l'asse delle ascisse.
• $y_{v}=-{\frac {b}{2a}}$
• $F\left(x_{v}+{\frac {1}{4a}};y_{v}\right)$
• $d:x=x_{v}-{\frac {1}{4a}}$

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