Matematica per le superiori/La retta

Nella geometria analitica la retta è la rappresentazione grafica di un equazione a due incognite di primo grado.

Ricavare l'equazione

Tracciando una retta generica r su un piano cartesiano si prendono due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) sulla retta noti e il punto P(x;y), intermedio, incognito. Si tracciano le proiezioni dei punti sugli assi, trovando H1, H e H2 sull'asse delle ascisse e K1, K e K2 su quello delle ordinate.

Secondo il teorema di Talete, valgono le equazioni:

${\frac {H_{1}H}{H_{1}H_{2}}}={\frac {P_{1}P}{P_{1}P_{2}}}$ e ${\frac {K_{1}K}{K_{1}K_{2}}}={\frac {P_{1}P}{P_{1}P_{2}}}$

Quindi, per proprietà simmetrica, si ottiene:

${\frac {H_{1}H}{H_{1}H_{2}}}={\frac {K_{1}K}{K_{1}K_{2}}}$

Riscrivendo l'equazione con le coordinate di P1, P e P2 si ottiene

${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$

Mettendo a denominatore comune l'equazione, svolgendo i calcoli e ponendo $y_{2}-y_{1}=a$, $x_{1}-x_{2}=b$ e $x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}=c$ si ottiene l'equazione in forma implicita:

$ax+by+c=0$

Il coefficiente angolare e l'intercetta

Se si ricava la y da quell'equazione e si pone $-{\frac {a}{b}}=m$ e $-{\frac {c}{b}}=q$ si ottiene

$y=mx+q$

dove m è detto coefficiente angolare (o pendenza) e q intercetta od ordinata all'origine.

• Il valore di q corrisponde all'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate, cioè quando x è uguale a 0; le rette passanti per l'origine di conseguenza hanno q uguale a 0 e la loro equazione generica è:
  $y=mx$
  il che è anche logico: se, quando x=0 e annulla il monomio mx, non c'è nessun altro valore a far variare la y, allora anch'essa vale 0, e quindi P(0,0).
• Da m dipende invece l'inclinazione della retta. Trascurando q una retta con m>0 riguarderebbe il 1° e il 3° quadrante, mentre con m<0 il 2° e il 4°. L'inclinazione è il rapporto tra la differenza delle y e la differenza delle x di due punti qualsiasi su una retta:
  $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$
  Con m = 0 la retta corrispondente sarà orizzontale, infatti:
  $y_{1}=y_{2}$
  $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {0}{\Delta x}}=0$
  Al contrario il coefficiente angolare di una retta verticale tenderà ad infinito:
  $x_{1}=x_{2}$
  $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{0}}$
  L'equazione di una tale retta cambia pertanto struttura e diventa del tipo
  $x=k$
  dove il parametro k indica l'ascissa (costante) dei suoi infiniti punti.
  Ad alcuni angoli particolari corrispondono determinati coefficienti angolari:

$\alpha$	0°	30°	45°	60°	90°	135°	150°
m	$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$m\rightarrow \infty$	$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$

Rette parallele e perpendicolari

I coefficienti angolari delle rette il cui rapporto è definibile sono legati matematicamente.

Rette parallele

Fig. 1

Ip.: $r//r^{\prime }$

Ts.: $m_{r}=m_{r'}$

Dim:
I triangoli ABO e A'B'O sono simili, infatti:

• Gli angoli AOB e A'OB' sono uguali perché opposti al vertice.
  
• Gli angoli ABO e OB'A' sono uguali perché alterni interni.
  
• Gli angoli BAO e B'A'O sono uguali perché alterni interni.
  

$m_{r}={\frac {\overline {AO}}{\overline {OB}}}$
$m_{r'}={\frac {\overline {OA'}}{\overline {OB'}}}$
siccome sono simili ${\frac {\overline {AO}}{\overline {OB}}}={\frac {\overline {OA'}}{\overline {OB'}}}$ e quindi:
$m_{r}=m_{r'}$ cvd.

Rette perpendicolari

Fig. 2

Ip.: $r\bot r^{\prime }$

Ts.: $m_{r}=-{\frac {1}{m_{r'}}}$

Dim:
I triangoli ABO e CDO sono simili.
$m_{r}={\frac {\overline {AB}}{\overline {OB}}}$

$m_{r'}={\frac {\overline {CD}}{\overline {OD}}}$

${\overline {AB}}:{\overline {OB}}={\overline {OD}}:{\overline {CD}}$

$m_{r}={\frac {\overline {AB}}{\overline {OB}}}={\frac {-{\overline {OD}}}{\overline {CD}}}=-{\frac {1}{\frac {\overline {CD}}{\overline {OD}}}}=-{\frac {1}{m_{r'}}}$

Simmetrie

• Simmetria rispetto all'asse y: m -> -m; q -> -q
• Simmetria rispetto all'asse x: m -> -m; q -> q
• Simmetria rispetto all'origine (composizione delle prime due): m -> m; q -> -q

Lavorare con l'equazione

Partendo dall'equazione di una retta possiamo ottenere informazioni sui punti che la compongono e vice versa; ad esempio si può verificare che un punto appartenga alla retta inserendo una delle sue coordinate nell'equazione:

$r:y=3x+1$
$P(2,3)$
$3=3\cdot 2+1$
$3\neq 7\Rightarrow$ P non appartiene ad r

Lo stesso vale per il contrario: partendo da uno o due punti possiamo trovare l'equazione di un fascio o di una retta:

Retta per un punto

$y=mx+q$
$P(x_{0},y_{0})$
$y_{0}=mx_{0}+q$
$q=y_{0}-mx_{0}$
$y=mx+y_{0}-mx_{0}$
$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

Questa formula è equivalente a quella classica, $y=mx+q$, da cui deriva, ma in molte situazioni è più comoda da utilizzare.

Retta per due punti

Dati due punti $P_{1}(x_{1},y_{1})$ e $P_{2}(x_{2},y_{2})$, per trovare l'equazione della retta corrispondente si può procedere nel seguente modo:

1. Si trova m: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$.
2. Si sostituiscono nell'equazione le coordinate di uno dei due punti.
3. Si ricava q dalla stessa equazione.

Distanza di un punto da una retta

Per "distanza di un punto da una retta" (abbreviato in distanza punto-retta) si intende la lunghezza del segmento più breve che unisce il punto alla retta: quello ad essa perpendicolare.

Per calcolare tale misura si può utilizzare una formula la cui validità è provata dalla seguente dimostrazione:

Fig. 3

$r:ax+by+c=0$
(Equazione in forma implicita) $y=-{\frac {a}{b}}$
$y={\frac {b}{a}}$ (Retta perpendicolare)
$s:y={\frac {b}{a}}x$
$\left\{{\begin{matrix}y={\frac {b}{a}}x\\ax+by+c=0\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}-\\ax+{\frac {b^{2}}{a}}x+c=0\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}-\\{\frac {a^{2}x+bx+ac}{a}}=0\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}-\\x(a^{2}+b^{2})=-ac\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}-\\x=-{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}}\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}y={\frac {b}{a}}{\frac {-ac}{a^{2}+b^{2}}}\\x=-{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}}\end{matrix}}\right.$
${\overline {OH}}={\sqrt {{\frac {a^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}+{\frac {b^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}={\frac {\sqrt {c^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

$={\frac {|c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Naturalmente a questo punto la formula permette di calcolare solo la distanza dall'origine, ma è possibile estenderla operando una traslazione:
r in O: $ax+by+c=0$ $\left\{{\begin{matrix}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}x=x'+x_{0}\\y=y'+y_{0}\end{matrix}}\right.$
r in P: $a(x'+x_{0})+b(y'+y_{0})+c=0$
$ax'+by'+ax_{0}+by_{0}+c=0$

$={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Fasci di rette

Un fascio di rette è l'insieme delle infinite rette passanti per uno stesso punto P, detto sostegno del fascio.

Come già visto, il fascio per un punto $P(x_{0},y_{0})$ è ottenibile con la formula $y-y_{0}=m(x-x_{0})$, ma si può anche creare un fascio utilizzando la combinazione lineare a partire da due rette dette generatrici. Per trovare la retta del fascio passante per P naturalmente si impone il passaggio per P sostituendo nell'equazione del fascio le coordinate del punto in questione.

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