Matematica per le superiori/Logica

Per approfondire, vedi Logica matematica.

La parola logica deriva dal greco λογική, possesso del pensiero (λόγος). La logica formale studiata nelle scuole si occupa del corretto ragionamento, esaminandone le strutture per indagarne la validità al di là del suo significato.

Proposizioni e predicati

Definizione

Si definisce proposizione qualsiasi combinazione di termini del linguaggio che costituisca un'espressione della quale si possa dire se è vera o falsa

Ciascuna proposizione è composta da:

• il soggetto è l'individuo o la cosa, appartenente ad un insieme universo, di cui la proposizione dice qualcosa
• il predicato, che dice qualcosa riferito al soggetto.

Le proposizioni si dividono in proposizioni chiuse (enunciati) e proposizioni aperte (predicati):

• gli enunciati sono espressioni verbali che possono risultare vere o false affermando qualcosa riferendosi ad un particolare soggetto o ad un particolare evento. Sono ad esempio proposizioni:

  Oggi piove

  Luca è nato a Roma

  5 è un numero pari

Per ciascuna di queste affermazioni possiamo stabilire con certezza un valore di verità, cioè vero o falso. Per indicare un enunciato si usa una lettera minuscola dell'alfabeto latino, ad esempio $p$, $q$, $r$.

Non possono essere considerati enunciati espressioni come:

Domani ci sarà bel tempo

Roma è una bella città

Come ti chiami?

Mi piacciono i numeri primi

• i predicati o funzioni enunciative sono quelle espressioni il cui valore di verità dipende dai soggetti a cui sono riferiti. In questi casi nella proposizione compare una variabile che indica un qualsiasi elemento all'interno dell'insieme universo definito. Per indicare un predicato si usa una lettera maiuscola dell'alfabeto latino, seguito dalla variabile indicata tra parentesi (ad esempio $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$. Sono dei predicati:

  P(x): x è un numero dispari (con $x\in \mathbb {R}$)

  Q(y): L'alunno y si chiama Luca (y appartiene alla classe 1^a B)

In questi casi le variabili considerate sono x e y; per stabilire il valore di verità di tali predicati, dobbiamo sostituire ad esse un elemento nell'insieme universo assegnato, trasformandoli così in enunciati. Per indicare un predicato chiuso si usa una lettera maiuscola dell'alfabeto latino seguita dall'elemento che si sostituisce alla variabile, tra parentesi:

P(5): 5 è un numero dispari ($x=5$, enunciato vero)

Q(Paolo Rossi): Paolo Rossi si chiama Luca (y = Paolo Rossi, enunciato falso)

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