Matematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
Quando si affrontano le operazioni tra frazioni algebriche è necessario lavorare con minimi comuni multipli, per cui è indispensabile avere una tecnica per scomporre dei denominatori formati da polinomi esattamente come si scompongono i denominatori numerici in prodotti.
Ci sono varie tecniche di scomposizione in fattori di polinomi.
Raccoglimento totale
[modifica | modifica sorgente]Per usare questo metodo bisogna verificare, innanzitutto, che ci siano 4 fattori con un divisore uguale a tutti e 4.
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, vale la seguente uguaglianza:
Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza vale anche:
È possibile usare quindi l'inversa della proprietà distributiva per scomporre in fattori un polinomio. Scomponiamo ad esempio questo polinomio:
Mettiamo in evidenza, in ogni monomio il fattore massimo comun divisore:
Poi lo raccogliamo usando la proprietà inversa della distributiva:
Raccoglimento parziale
[modifica | modifica sorgente]Consideriamo il polinomio:
per usare questo metodo devono esserci 4 o piu fattori per eseguirlo. Si raggruppano 2 a 2 i monomi e si trascrive quello più piccolo. Nella prima parententesi si raggruppa la parte uguale, nella seconda quello fuori dalle parentesi.
in questo caso non è possibile individuare un elemento comune a tutti i monomi appartenenti al polinomio, tuttavia è possibile ottenere comunque un prodotto tra polinomi utilizzando una tecnica di raccoglimento che si sviluppa in due momenti diversi:
Prima su porzioni del polinomio:
Poi su tutto il polinomio:
Differenza di due quadrati
[modifica | modifica sorgente]Consideriamo questo polinomio:
In questo caso notiamo che ogni monomio è un quadrato perfetto. Riscriviamo dunque il polinomio in un'altra forma:
Notiamo quindi che questo polinomio non è altro che il prodotto notevole della differenza di due quadrati.
Facciamo un altro esempio:
Quadrato di un binomio
[modifica | modifica sorgente]Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di 2 termini, aumenta (o diminuita) del loro prodotto è uguale al quadrato della somma (o differenza) dei 2 termini Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:
Consideriamo questo trinomio:
poiché si possono individuare i quadrati di due monomi e il loro doppio prodotto:
il trinomio di partenza è equivalente a:
Cubo di un binomio
[modifica | modifica sorgente]Questo metodo viene utilizzato quando ci sono 4 fattori, i quali devono esserci 2 quadrati pefetti. Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:
Consideriamo questo quadrinomio:
poiché si possono individuare i due cubi e i due tripli prodotti:
il quadrinomio di partenza è equivalente a:
Analogamente:
Scomposizione di trinomi di secondo grado
[modifica | modifica sorgente]Se il trinomio è in questa forma:
se cioè il coefficiente del termine di 2° grado è uno, in alcuni casi il trinomio è facilmente scomponibile.
Bisogna cercare due numeri che moltiplicati diano come risultato e sommati diano . Se riusciamo a trovarli, chiamando e questi due numeri, il trinomio si può scomporre nel seguente prodotto:
Ad esempio:
dato che e si ottiene:
Somma o differenza di due cubi
[modifica | modifica sorgente]Come svolgerlo: prima parentesi: - somma/differenza delle basi; seconda parentesi: -quadrato della prima base -prodotto delle basi (ricorda di cambiare segno) -quadrato della seconda base.
Consideriamo un polinomio formato dalla somma di due cubi:
è scomponible in:
Infatti:
Facciamo un esempio:
In modo simile si ottiene:
Lasciamo ai lettori volenterosi la semplice dimostrazione.
Collegamenti esterni
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