Matematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo

Sistemi di 2° grado

I sistemi di 2° grado sono composti da una equazione di 2° grado e da una di 1° grado (N.B. il grado di un sistema è il PRODOTTO dei gradi di ogni equazione che compone il sistema)

Risoluzione

È consigliabile risolvere questi sistemi con il METODO DI SOSTITUZIONE (N.B. in casi particolari anche con la RIDUZIONE o CONFRONTO): si ricava un'incognita dall'equazione di 1° grado e si sostituisce in quella di 2° grado. Si ottiene un'equazione, detta EQUAZIONE RISOLVENTE IL SISTEMA.

A seconda del Δ si possono presentare tre possibili casi:

• $\Delta >0\,$ (delta positivo) L'equazione risolvente il sistema ha due soluzioni reali distinte. Ciascuno dei due valori va sostituito nel sistema e si ottengono così due coppie ordinate distinte di soluzioni.
• $\Delta =0\,$ (delta uguale a zero) L'equazione risolvente ha due soluzioni reali coincidenti, anche il sistema quindi risulta avere due coppie ordinate di valori coincidenti.
• $\Delta <0\,$ (delta negativo) L'equazione risolvente non ha soluzioni reali, quindi il sistema è impossibile.

Un esempio di esercizio

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y-2x=0\\&2x^{2}-y^{2}+3x=3(y-9)\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$ ⇒ $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=2x\\&2x^{2}-(2x)^{2}+3x=3(2x-9)\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=2x\\&2x^{2}-4x^{2}+3x=6x-27\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$ ⇒ $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=2x\\&-2x^{2}+3x=6x-27\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=2x\\&-2x^{2}-3x+27=0\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$ ⇒ $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=2x\\&2x^{2}+3x-27=0\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Si risolve l'equazione di 2° grado (Questa equazione è definita come "EQUAZIONE ASSOCIATA AL SISTEMA").
$2x^{2}+3x-27=0$

$\Delta \,=3^{2}-4(2)(-27)=9+216=225$

$x_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {225}}}{2(2)}}$

da cui si deduce che le soluzioni sono: $x_{1}=3ox_{2}=-{\frac {9}{2}}$

    \end{align}
 \end{matrix}\right.

</math> ∨ $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=-{\frac {9}{2}}\\&y=-9\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$