Matematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni

Dati due insiemi A e B, una funzione è una legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B (è tuttavia possibile che a più elementi di A corrisponda lo stesso elemento di B). In questo caso l'insieme A prende il nome di dominio, mentre B è il codominio. Nelle funzioni che siamo abituati a trattare, il dominio è l'insieme delle x (che tipicamente coincide con l'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali), mentre il codominio è l'insieme delle 'y' (anch'esso coincidente con $\mathbb {R}$).

Determinazione grafica di una funzione

La parabola è una funzione

La circonferenza non è una funzione

Attraverso la sua rappresentazione grafica si può stabilire se un'equazione sia una funzione o no: quando lo è ad ogni coordinata x corrisponde una sola y, come avviene nelle rette (esclusa quella verticale) o nelle parabole con asse verticale. Quando, al contrario, ad almeno una x corrispondono più y l'equazione non è una funzione: è il caso della circonferenza o delle parabole con asse orizzontale.

Dominio e codominio

Il dominio nel grafico di una funzione è uguale all'insieme dei valori per i quali la funzione è calcolabile, si trova sull'asse x, ogni retta verticale passante per ciascun punto del dominio incontra il grafico esattamente in un punto. L'immagine è invece costituita dalle y corrispondenti, ogni retta orizzontale passante per ciascun punto dell'immagine incontra il grafico in almeno un punto. Come codominio puo' essere considerato un qualunque sovrainsieme dell'immagine (si trova, come l'immagine, sull'asse y ed è assegnato da chi introduce la funzione).

Funzioni pari e funzioni dispari

Quando $f(x)=f(-x)$ la funzione si dice pari. Quando invece $f(-x)=-f(x)$ la funzione è dispari. Una funzione esistente non deve necessariamente essere pari o dispari.

Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y, quelle dispari lo sono invece rispetto all'origine.

Asintoti

Gli asintoti, presenti solo in alcune funzioni, sono le x per cui le y corrispondenti tendono a + o - infinito. Nel grafico questo si traduce in rapide ascese o discese della curva lungo rette verticali immaginarie (gli asintoti) che non vengono mai toccate.

Zeri

Gli zeri sono le soluzioni che l'equazione ha per $y=0$. Logicamente nella rappresentazione grafica sono le intersezioni della curva con l'asse delle ascisse (che è proprio $y=0$). Una funzione ha quindi tante soluzioni per $y=0$ quante sono le intersezioni con l'asse x.

Massimi e minimi

I massimi e i minimi sono i punti rispettivamente più alti o più bassi di tutta la curva o rispetto ad un intervallo. Nel caso in cui un punto sia il più alto (o il più basso) di tutta la curva esso è detto massimo (o minimo) assoluto. Se invece è il più alto (o il più basso) solo in un intervallo il punto prende il nome di massimo (o minimo) relativo. L'intervallo in questione è detto intorno.

Funzione reciproca

Per disegnare il reciproco ${\frac {1}{f(x)}}$ di una funzione $f(x)$, partendo dal grafico della funzione, si applichino le seguenti regole:

• In corrispondenza degli zeri di $f(x)$ ($y=0$), in $1/f(x)$ ($y=1/0$) si trovano asintoti verticali.
• Viceversa dove $f(x)$ tende ad infinito $1/f(x)$ tende a 0.
• I punti di intersezione con la retta $y=1oy=-1$ non variano (il reciproco di 1 è 1, quello di -1 è -1).
• I massimi diventano minimi e viceversa

Valori assoluti

Partendo dal grafico di f(x) è possibile tracciare quello di f(|x|) o di |f(x)| in modo non complesso:

• f(|x|): si elimina la parte a sinistra dell'asse y e si esegue una simmetria su quest'asse. Si noti che la funzione risultante è pari.
• |f(x)|: si esegue una simmetria della funzione rispetto all'asse x e si elimina la parte sottostante a quest'asse.