Matematica per le superiori/Trigonometria

Misura degli Angoli

Misura in gradi sessagesimali

Il grado è la 360ª parte dell'angolo giro e a sua volta viene diviso in 60 parti, formando un primo che a sua volta può ulteriormente venire diviso in altre 60 parti, formando il secondo. Ad esempio, con 43°15'22" indichiamo un angolo di 43 gradi, 15 primi e 22 secondi.

Misura in radianti

Consideriamo un angolo α l'arco sotteso corrispondente sulla circonferenza. L'angolo misura un radiante se la lunghezza di quest'arco è uguale al raggio. Se ad esempio consideriamo un angolo arbitrario β e r il raggio, abbiamo la proporzione

$x:2\pi r=\beta ^{\circ }:360^{\circ }$

ne deriva che

$x={\frac {2\pi r\beta ^{\circ }}{360^{\circ }}}$

semplificando il tutto considerando la circonferenza goniometrica con r=1

$x={\frac {\pi \beta ^{\circ }}{180^{\circ }}}$

Si riportano qui alcuni valori in radianti dei corrispondenti gradi sessagesimali.

Gradi	0	18	30	45	60	90	135	150	180	270	360
Radianti	0	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {3}{4}}\pi$	${\frac {5}{6}}\pi$	$\pi$	${\frac {3}{2}}\pi$	$2\pi$

Funzioni Goniometriche

Per definire le funzioni goniometriche, consideriamo il seguente grafico, rappresentate una circonferenza goniometrica, cioè una circonferenza di equazione x²+y²=1, vale a dire una circonferenza avente raggio pari a 1.

anche se ovviamente valgono anche per qualsiasi valore del raggio.

Coseno di un angolo $\alpha$

Osservando il triangolo rettangolo POP', il coseno di un generico angolo $\alpha$ è dato dal rapporto tra il lato OP' e il raggio (nel nostro esempio 1).

$\cos \alpha ={\frac {OP'}{OP}}={\frac {OP'}{r}}$

nel caso della circonferenza goniometrica, $\cos \alpha =OP'$.

La funzione coseno è di tipo sinusoidale, cioè che si ripete ciclicamente. Il coseno inizia con valore 1 per l'angolo giro (o nullo), diminuendo progressivamente fino ad essere 0 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto diventa negativo assumendo -1, il suo massimo valore negativo a 180º. Superati i tali risale e diventa 0 a 270º per poi ritornare 1 raggiunti i 360º.

Seno di un angolo $\alpha$

Considerando lo stesso triangolo, il seno dell'angolo $\alpha$ è dato dal rapporto fra il segmento PP' e il raggio;

$\sin \alpha ={\frac {P'P}{OP}}$

nel caso della circonferenza goniometrica di raggio=1,

$\sin \alpha =P'P$

La funzione seno è di tipo sinusoidale. Il seno inizia con valore 0 per l'angolo giro (o nullo), aumentando progressivamente fino ad essere 1 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto si avvia a ritornare nullo, assumento nuovamente il valore 0 a 180º. Superati i tali diventa negativo e raggiunge -1 a 270º, tornando poi 0 a 360º.

Tangente e cotangente di un angolo $\alpha$

La tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno ed il coseno del medesimo angolo, quindi

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Possiamo dare anche un'interpretazione geometrica alla funzione tangente. Consideriamo infatti il grafico di una retta

L'equazione di questa retta è, come ben noto, $y=mx$, dove m è il coefficiente angolare. In realtà la tangente è uguale al coefficiente angolare.

Infatti, se $y=mx+q$, allora abbiamo che $m={\frac {y}{x}}$ e quindi, per la definizione data all'inizio di tangente, $m=\tan \alpha$.

Osservando la circonferenza goniometrica, la tangente è il segmento AT. La tangente non può esistere quando $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+k{\pi }$ dal momento che la retta tangente e il raggio vettore sono paralleli e non hanno quindi punti in comune.

La cotangente, come dice la seconda relazione fondamentale, è invece il reciproco della tangente:

$\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}$

Da ciò deriva che la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo e nel grafico della circonferenza goniometrica è rappresentato dal segmento BC

$\cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}$

Il campo di esistenza della cotangente invece è$\alpha \neq k\pi \forall k\in \mathbb {Z}$

A differenza del seno e del coseno, il grafico delle funzioni tangente e cotangente non formano una sinusoide, ma una tangentoide, pur essendo anch'esse cicliche. Il motivo di questa differenza risiede nel fatto che in alcuni punti la tangente non è definita, e più precisamente nei punti 90º e 270º, dove la funzione assume valori infinitamente grandi.

Il medesimo discorso vale anche per la cotangente, dove assume valore infinito nei punti 0 e 180º.

Valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoli

Per comodità, si riportano i valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoli.

Gradi	Radianti	seno	coseno	tangente	cotangente
0	0	0	1	0	$\varnothing$
15º	${\frac {1}{12}}\pi$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$
18º	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$
30º	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
45º	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	1	1
60º	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
75º	${\frac {5}{12}}\pi$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$2+{\sqrt {3}}$	$2-{\sqrt {3}}$
90º	${\frac {\pi }{2}}$	1	0	$\varnothing$	0

Con l'uso di questi valori e con le formule che vedremo in seguito, è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

Archi Associati

Abbiamo già visto che il seno ed il coseno assumono valori da -1 a 1 ciclicamente (ovviamente sempre nel caso della circonferenza goniometrica di raggio 1). In questa sezione vediamo come il seno ed il coseno si ripetono e si scambiano al variare dell'angolo e dei quadranti, rendendo quindi così possibile ridurre tutti i valori delle due funzioni al primo quadrante.

Angoli Complementari

Consideriamo l'angolo $\alpha$ e l'angolo ${\frac {\pi }{2}}-\alpha$;

I due triangoli OHP e OH'P' sono uguali (essendo gli angoli uguali) e uguali sono i loro lati, ovvero seno e coseno. Allora: ${\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\cot \alpha$

Angoli Supplementari

Consideriamo ora l'angolo $\alpha$ e l'angolo $\pi -\alpha$;

Anche in questo caso i triangoli sono uguali (OHP e OH'P' hanno il medesimo angolo $\alpha$), e osservando la figura si deduce che

$\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha$

$\cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha$

$\tan \left(\pi -\alpha \right)={\frac {-\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-\tan \alpha$

Se invece consideriamo l'angolo ${\frac {\pi }{2}}+\alpha$, otteniamo un angolo che differisce di un angolo retto da $\alpha$ e la relazione tra seno e coseno è identica a quella di $\pi -\alpha$ e $\alpha$.

Sono due modi di vedere lo stesso angolo, come ad esempio, possiamo vedere un angolo di 110º sia come 180º-70º sia come 90º+20º.

Angoli che hanno per somma tre angoli retti

Consideriamo l'angolo ${\frac {3\pi }{2}}-\alpha$ e $\alpha$;

Anche in questo caso i triangoli sono uguali e osservando la figura si deduce che

$H'P'=-HP\Rightarrow \cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sin \alpha$

$OH'=-OH\Rightarrow \sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\cos \alpha$

$\tan \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha$

$\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha$

Possiamo anche vedere la situazione come angoli che differiscono di un angolo piatto, ed in tal caso considerare $\pi +\alpha$ e $\alpha$ e arrivare ai precedenti risultati nel medesimo modo, ossia osservando il grafico.

Angoli esplementari

Consideriamo la differenza tra l'angolo giro e un angolo $\alpha$, ossia $2\pi -\alpha$;

Al solito, anche questi triangoli sono uguali e possiamo notare che

$H'P'=-HP\Rightarrow \sin \left(2\pi -\alpha \right)=-\sin \alpha$

$OH'=OH\Rightarrow \cos \left(2\pi -\alpha \right)=\cos \alpha$

$\tan \left(2\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha$

$\cot \left(2\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha$

Anche qui possiamo vedere le cose in modo diverso, ossia sommando un angolo $\alpha$ a 270°, facendo però attenzione perché il risultato è diverso.

Infatti, osservando il grafico

abbiamo che

$H'P'=HP\Rightarrow \cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\sin \alpha$

$OH'=-OH\Rightarrow \sin \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cos \alpha$

$\tan \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha$

$\cot \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha$

Angoli opposti

Infine consideriamo due angoli opposti $\alpha$ e $-\alpha$, ovvero l'angolo $360^{\circ }-\alpha$;

Ovviamente i trinagoli sono uguali e abbiamo che:

$H'P'=-HP\Rightarrow \sin \left(2\pi -\alpha \right)=-\sin \alpha$

$OH'=OH\Rightarrow \cos \left(2\pi -\alpha \right)=\cos \alpha$

$\tan \left(2\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha$

$\cot \left(2\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha$

Operazioni algebriche con le funzioni goniometriche

Osserviamo la figura, dove vengono rappresentati un angolo $\alpha$, $\beta$ e la loro differenza $\alpha -\beta$:

Con le funzioni goniometriche abbiamo che

$\sin(\alpha +\beta )\neq \sin \alpha +\sin \beta$

e per rendersene conto è sufficiente un semplice esempio: $\alpha =\beta =30^{\circ }$ il cui seno vale ${\frac {1}{2}}$. È ovvio che $\sin 60^{\circ }\neq \sin 30^{\circ }+\sin 30^{\circ }$ perché i rispettivi risultati sono ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ e 1.

Per avere il coseno e il seno dell'angolo $\alpha -\beta$, è necessario utilizzare delle formule fondamentali da ricordare.

Formule di Sottrazione e Addizione

Queste formule permettono di ottenere il seno e il coseno di una somma algebrica di due angoli tramite il seno e il coseno dei singoli addendi. Non mi metto a scrivere tutti i calcoli che bisogna fare per arrivare a queste formule (potete ad esempio trovarli nella pagina http://ripmat.it/mate/i/ic/icaaa.html), mi limito a scrivere le formule cosicché puoi memorizzarle e consultarle velocemente.

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

Riguardo tangente e cotangente:

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \beta +\cot \alpha }}$

$\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$

Formule di Duplicazione

Sono formule che derivano dalle formule precedenti, ponendo $\alpha =\beta$.

Il motivo di queste formule deriva dal fatto che in generale:

$2\sin \alpha \neq \sin 2\alpha$

$2\cos \alpha \neq \cos 2\alpha$ ecc...

Valgono allora le seguenti formule che permettono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo doppio rispetto a quello dato.

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\left\{{\begin{array}{l}\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \\1-2\sin ^{2}\alpha \\2\cos ^{2}\alpha -1\end{array}}\right.$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},\alpha \neq \pi +2k\pi \wedge \alpha \neq {\frac {\pi }{4}}+k{\frac {\pi }{2}}$

$\cot 2\alpha ={\frac {\cot ^{2}\alpha -1}{2\cot \alpha }},\alpha \neq k{\frac {\pi }{2}}$

Formule di Bisezione

Le formule di bisezione consentono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente della metà di un generico angolo $\alpha$, avendo il coseno di $\alpha$.

$\sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\left\{{\begin{array}{l}+\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ I\ o\ II\ quadrante\\-\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ III\ o\ IV\ quadrante\end{array}}\right.$

$\cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\left\{{\begin{array}{l}+\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ I\ o\ IV\ quadrante\\-\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ II\ o\ III\ quadrante\end{array}}\right.$

$\tan {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}\left\{{\begin{array}{l}+\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ I\ o\ III\ quadrante\\-\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ II\ o\ IV\ quadrante\end{array}}\right.$

$\cot {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}\left\{{\begin{array}{l}+\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ I\ o\ IV\ quadrante\\-\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ II\ o\ III\ quadrante\end{array}}\right.$

Formule di Prostaferesi

Le formule di prostaferesi permettono di trasformare una somma o sottrazione di seni, coseni, ecc... in un prodotto.

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\ ,\ \alpha ,\beta \neq {\frac {(2k+1)\pi }{2}}$

$\cot \alpha \pm \cot \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}\ ,\ \alpha ,\beta \neq k\pi$

Formule di Werner

Queste formule sono un po' l'inverso delle formule di prostaferesi, ovvero le formule di Werner consentono di trasformare il prodotto di due seni, coseni o un prodotto di seno per un coseno, nelle rispettive somme o differenze.

$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )\right]$

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]$

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]$

Formule parametriche

Le formule parametriche consentono di ricavare seno, coseno e cotangente mediante la tangente dell'angolo metà.

$\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

$\cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

$\cot \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}$

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