Matematica per le superiori/Frazioni algebriche

I polinomi hanno un comportamento simile a quello dei numeri interi: anche tra i polinomi la divisione non dà sempre un risultato esatto. Quando si dividono due polinomi si può ottenere un resto. Questo fatto ha portato ad ampliare i numeri interi con i numeri razionali rappresentabili con frazioni e ad ampliare l'insieme dei polinomi con le frazioni algebriche.

Si dice frazione algebrica una frazione che ha un'espressione letterale a denominatore.

Definizione

Una frazione (dal latino fractus, rotta), secondo la definizione classica propria dell'aritmetica, è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione. Ad esempio, se si taglia una torta in quattro fette uguali, ciascuna di esse è detta un quarto di torta (rappresentata con 1⁄4); due quarti è mezza torta, e otto quarti formano due torte. In termini più generali, si indica con il nome di frazione ogni generico membro dell'insieme dei numeri razionali.

Semplificazione di frazioni algebriche

A volte (non sempre) una frazione algebrica può essere semplificata.

La semplificazione di una frazione consiste nell’applicare la cosiddetta “proprietà invariantiva”, che dice:  

“In una divisione è possibile moltiplicare oppure dividere 
(nel caso della semplificazione: dividere)
per uno stesso numero diverso da zero, sia il dividendo che il divisore
e il risultato dell’operazione non cambierà”

  Notiamo che in molte semplificazioni si applica anche, simultaneamente, la proprietà che afferma:

“Quando si deve moltiplicare, o dividere (nel nostro caso: dividere), 
 un PRODOTTO per un numero,
basta moltiplicare, o dividere, per quel numero
UNO SOLO dei fattori del prodotto.
In particolare, quando si deve dividere un prodotto per uno dei suoi fattori, 
basta sopprimere quel fattore”

Esempi:                              
10            24   3
— = 2 ;        — = —
5             40   5

Moltiplicazione e divisione di frazioni algebriche

Moltiplicazione

Il prodotto di due frazioni algebriche che ha per numeratore il prodotto dei numeratori 
e per denominatore il prodotto dei denominatore delle frazioni date
Naturalmente converrà sempre eseguire tutte le semplificazioni possibili

Esempio:

8    2     16
— .  — =   —
7    3     21

Divisione

Per effettuare la divisione tra due frazioni algebriche, occorre moltiplicare la prima frazione algebrica per l'inverso della seconda.

Esempio:

8    2     8   3    12
— :  — =   — . — =  ——
7    3     7   2     7