Matematica per le superiori/Numeri interi

A cosa servono e

I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dal'unione dei numeri naturali (0, 1, 2...) e dei numeri negativi (costruiti ponendo un segno "-" davanti ai numeri positivi, ad esempio -1, -2, -3 etc.). Con i numeri interi è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni e le sottrazioni. Questo significa che se si addizionano, si sottraggono o si moltiplicano due numeri interi il risultato si trova sempre nella retta dei numeri relativi.

Rappresentazione con segni

Un numero relativo è formato da un modulo (o valore assoluto), cioè il numero stesso, e un segno: il segno +, che indica un numero sopra lo zero, e il segno - che indica un numero sotto lo zero.

Due numeri relativi con lo stesso segno sono detti concordi.

$+5{\text{ e }}+7$

Due numeri relativi con segno diverso sono detti discordi.

$+5{\text{ e }}-7$

Due numeri relativi con segno diverso e valore assoluto uguale sono detti opposti.

$+5{\text{ e }}-5$

Rappresentazione sulla retta

I numeri interi relativi possono essere rappresentati su una retta. Disegniamo una retta, su di essa prendiamo un punto di riferimento al quale associamo il numero zero, il verso di percorrenza da sinistra verso destra, un segmento 1 come un'unità di misura. Riportiamo questa unità di misura più volte partendo da zero e camminando nel verso stabilito aggiungiamo ogni volta uno: ai punti trovati associamo gli interi positivi. Ripetiamo l'operazione partendo dallo zero, ma con il verso di percorrenza a sinistra: ai punti trovati associamo gli interi negativi.

Possiamo interpretare questi numeri come il numero di passi da fare sulla retta, partendo dallo zero verso destra se il segno è positivo, verso sinistra se il segno è negativo.

L'insieme dei numeri relativi si indica con il simbolo ℤ ; in particolare, l'insieme dei soli numeri interi relativi con segno positivo si indica con il simbolo ℤ+,l'insieme dei soli numeri interi negativi si indica con il simbolo ℤ- .

Confronto

Fissato sulla retta l’ordinamento dei numeri in senso crescente, si può osservare che ogni numero risulta:

• minore di quelli che stanno alla sua destra
• maggiore di quelli che stanno alla sua sinistra
• ogni numero intero positivo è maggiore di 0 e di ogni numero negativo;
• tra due numeri positivi il più grande è quello che ha valore assoluto maggiore;
• ogni numero negativo è minore di 0 e di ogni numero positivo;
• tra due numeri negativi il più grande è quello che ha valore assoluto minore;
• 0 è minore di ogni numero positivo e maggiore di ogni numero negativo.

Per indicare che un numero è maggiore di un altro si usa separare i due numeri con il simbolo >; per indicare che il primo è minore del secondo si usa mettere tra i due numeri il simbolo <.

Esempi:

1. +4 > 2 i numeri sono positivi, il maggiore è +4 perché ha valore assoluto maggiore.
2. −1 > −3 i due numeri sono negativi, il maggiore è -1 perché ha valore assoluto minore.
3. +2 > −4 il numero positivo è maggiore del numero negativo.
4. +4 > 0 ogni numero positivo è maggiore di 0.
5. 0 > −2 ogni numero negativo è minore di 0.

Numeri interi e addizione

Definizione

L'addizione tra numeri interi relativi, detti addendi, si indica con il segno +. Il risultato dell'operazione si chiama somma e dipende dalle caratteristiche degli addendi. Esistono tre possibili casi:

• la somma di due numeri interi relativi concordi è il numero intero relativo che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti degli addendi e come segno lo stesso segno degli addendi.

$(+3)+(+5)=8$ i due addendi sono concordi perché entrambi preceduti dallo stesso segno, i loro valori assoluti sono 3 e 5

$(-2)+(-5)=-7$ i due numeri sono concordi con segno negativo e valore assoluto rispettivamente 2 e 5

• la somma di due numeri interi relativi discordi è il numero intero relativo che ha per valore assoluto la differenza tra il maggiore e il minore dei valori assoluti degli addendi e come segno il segno dell'addendo che ha valore assoluto maggiore.

$(-5)+(+2)=-3$ i due addendi sono discordi, hanno valore assoluto pari a 5 e 2. Il numero con valore assoluto maggiore è il primo addendo, pertanto il risultato avrà segno negativo.

• la somma di due numeri opposti è zero

$(-8)+(+8)=0$ i due addendi sono opposti perché hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso.

Proprietà

L'addizione tra numeri interi relativi gode delle identiche proprietà dell'addizione tra numeri naturali, che elenco di seguito:

• proprietà commutativa permette di cambiare l'ordine degli addendi lasciando invariato il valore della somma

$a+b=b+a$

• proprietà associativa permette di calcolare la somma di tre o più addendi, associandoli a piacimento

$a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$

• l'elemento neutro dell'addizione è lo zero (0)

$a+0=0+a=a$

Numeri interi e sottrazione

La sottrazione è l'operazione per la quale abbiamo un cambiamento sostanziale: in un certo senso si può dire che abbiamo introdotto i numeri negativi proprio per rendere la sottrazione sempre possibile. si tratta dell'operazione inversa alla somma

DEFINIZIONE Dati due numeri interi $a$ e $b$ che appartengono all'insieme Z, si dice

$a-b$ quel numero intero $x$, che sommato a $b$ dà come risultato $a$

cioè:

$a-b=x$ se e solo se $a=b+x$

in Z esiste l'inverso rispetto alla somma; se denotiamo con il simbolo $b'$ l'inverso di $b$ avremo:

$b=n$ che appartiene ai numeri naturali, allora $b'=-n$,

$b=-n\,$ allora $\,b'=n$,

$b=0\,$ anche $\,b'=0$ .

avremo:

$a-b=a+b'\,$ cioè che $x=a+b'\,$ è l'elemento richiesto, infatti:

$x+b=(a+b')+b=a+b+b'=a+0=a$ .

quindi: sottrarre è uguale a sommare l'opposto

Esempi

$4-(-5)=4+5=9$

$-3-7=-3+(-7)=-10$

$-2-(-2)=-2+2=0$

Numeri interi e moltiplicazione

Definizione

La definizione del prodotto di due numeri interi positivi a e n non è altro che:

$a\times n=\underbrace {a+a+\dots +a} _{n{\text{ volte}}}$

ovvero "n volte a".

Dati due numeri interi relativi da moltiplicare, si chiamano fattori i due numeri e prodotto il risultato dell'operazione. Il prodotto di due numeri interi relativi è il numero intero avente come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori e come segno il segno "+" se i fattori sono concordi, e il segno "-" se i fattori sono discordi.

                                                       a x n = m
                                                         ↓     ↓
                                                    fattori  prodotto

esempio:

$6\times 4=6+6+6+6=24$

Proprietà

A partire dalla definizione, è facile dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:

Proprietà commutativa

Non ha importanza l'ordine con cui vengono moltiplicati due numeri. Infatti, per ogni coppia di numeri $a$ e $b$,

$a\times b=b\times a$

Proprietà associativa

Per ogni terna di numeri $a,b,c$ si ha:

$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

cioè non è importante l'ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni.

Proprietà distributiva rispetto all'addizione

Si può "distribuire" la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:

$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$

Esistenza dell'Elemento neutro

Ogni numero moltiplicato per $1$ è pari a se stesso:

$a\times 1=a$

$1\times a=a$

Il numero $1$ è detto anche elemento neutro per la moltiplicazione.

Elemento zero

La moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato:

$a\times 0=0$

per un qualunque valore di $a$ (finito).

Questa definizione è coerente con la proprietà distributiva, infatti:

$a\times b=a\times (b+0)=(a\times b)+(a\times 0)$

Esistenza dell'inverso

Qualsiasi sia il valore di $a$, ad eccezione dello zero, esiste un inverso rispetto alla moltiplicazione, ${\frac {1}{a}}$, cioè un numero la cui moltiplicazione per $a$ ha come risultato $1$:

$a\times \left({\frac {1}{a}}\right)=1$

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Numeri interi e divisione

Definizione

La regola della divisione nei numeri interi è del tutto analoga a quella della moltiplicazione. Per dividere due numeri interi relativi si dividono i valori assoluti e si attribuisce al risultato il segno $+$ se i numeri da dividere sono concordi, si attribuisce invece il segno $-$ se i numeri sono discordi. Se osserviamo attentamente, mentre addizione, sottrazione e moltiplicazione sono operazioni sempre possibili tra i numeri interi, ossia il risultato di queste operazioni è sempre un numero intero relativo, il risultato della divisione non sempre è un numero intero. La divisione tra numeri relativi è possibile se è possibile la divisione tra i loro valori assoluti, ossia se il divisore è diverso da zero ed è un sottomultiplo del dividendo.

Alcuni esempi di divisione fra numeri interi sono:

• $(+8):(+2)=+4$

il risultato è $4$ perché $8:2=4$, il segno è $+$ perché sono concordi.

• $(+9):(-3)=-3$

il risultato è $3$ perché $9:3=3$, il segno è $-$ perché sono discordi.

• $(-12):(-4)=+3$

il risultato è $3$ poiché $12:4=3$, il segno è $+$ perché sono concordi.

Proprietà della divisione

Proprietà invariantiva

$a:b=(a\times c):(b\times c)$

Il quoziente tra due numeri non cambia se entrambi si dividono o si moltiplicano per uno stesso numero diverso da zero.

Esempio

$6:2=3$

$6:2=(6\times 4):(2\times 4)=24:8=3$

Proprietà distributiva

$(a+b):c=a:c+b:c$

Scomponendo il dividendo si può dividere ciascun termine della somma (o differenza ) per il divisore e poi sommare (o sottrarre) i quozienti ottenuti.

Esempio

$(9+6):3=15:3=5$

$(9+6):3=9:3+6:3=3+2=5$

La divisione per $0$ non viene definita

Numeri interi e potenza

In matematica la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri $a$ e $n$ - detti rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$:

${\begin{matrix}a^{n}:=&\underbrace {a\times a\times a\times \dots \times a} \\&n{\mbox{ volte}}\end{matrix}}$

Esempi

$(+3)^{2}=(+3)\times (+3)=+9$

$(-2)^{3}=(-2)\times (-2)\times (-2)=-8$

$(-2)^{4}=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=+16$

Proprietà

Prodotto di potenze con la stessa base

$a^{b}\times a^{c}=a^{(b+c)}$

Il prodotto di due, o più potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

Quoziente di potenze con la stessa base

$a^{b}:a^{c}=a^{(b-c)}$

Il quoziente di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e l'esponente del divisore

Potenza di una potenza

$(a^{b})^{c}=a^{(b\times c)}=(a^{c})^{b}$

La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

$b^{a}\times c^{a}=(b\times c)^{a}\;$

Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

$b^{a}:c^{a}=(b:c)^{a}$

Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

Casi particolari

• Ogni numero o insieme di numeri diverso da 0 elevato alla "0" dà come risultato sempre "1".
• Ogni numero elevato a "1" rimane invariato.
• Se la base è un numero positivo il risultato della potenza è sempre positivo
• Se la base è un numero negativo il segno dipende dall'esponente:

se l'esponente è dispari il risultato è negativo

se l'esponente è pari il risultato è un numero positivo.