Primo anno
Secondo anno
Terzo anno
Quarto anno
Quinto anno
Extra
Modifica il sommario
Dato il binomio
(
a
+
b
)
{\displaystyle (a+b)}
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle (a+b)^{2}}
Regola
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}
Esempi
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
(
2
x
+
y
)
2
=
(
2
x
)
2
+
2
∗
2
x
y
+
y
2
=
4
x
2
+
4
x
y
+
y
2
{\displaystyle (2x+y)^{2}=(2x)^{2}+2*2xy+y^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}}
(
2
x
+
2
y
)
2
=
(
2
x
)
2
+
2
∗
2
x
∗
2
y
+
(
2
y
)
2
=
4
x
2
+
8
x
y
+
4
y
2
{\displaystyle (2x+2y)^{2}=(2x)^{2}+2*2x*2y+(2y)^{2}=4x^{2}+8xy+4y^{2}}
(
2
x
y
+
3
y
)
2
=
(
2
x
y
)
2
+
2
∗
2
x
y
∗
3
y
+
(
3
y
)
2
=
4
x
2
y
2
+
12
x
y
2
+
9
y
2
{\displaystyle (2xy+3y)^{2}=(2xy)^{2}+2*2xy*3y+(3y)^{2}=4x^{2}y^{2}+12xy^{2}+9y^{2}}
Dato il polinomio
(
a
+
b
+
c
+
…
)
{\displaystyle (a+b+c+\dots )}
(
a
+
b
+
c
+
…
)
2
{\displaystyle (a+b+c+\dots )^{2}}
(
a
+
b
+
c
…
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
⋯
+
2
a
b
+
2
a
c
+
2
b
c
+
…
{\displaystyle (a+b+c\dots )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dots +2ab+2ac+2bc+\dots }
Esempi
(
2
a
+
b
+
c
)
2
=
(
2
a
)
2
+
b
2
+
c
2
+
2
×
2
a
×
b
+
2
×
2
a
×
c
+
2
×
b
×
c
=
{\displaystyle (2a+b+c)^{2}=(2a)^{2}+b^{2}+c^{2}+2\times 2a\times b+2\times 2a\times c+2\times b\times c=}
=
4
a
2
+
b
2
+
c
2
+
4
a
b
+
4
a
c
+
2
b
c
{\displaystyle =4a^{2}+b^{2}+c^{2}+4ab+4ac+2bc}
(
2
a
+
2
b
+
c
)
2
=
(
2
a
)
2
+
(
2
b
)
2
+
c
2
+
2
×
2
a
×
2
b
+
2
×
2
a
×
c
+
2
×
2
b
×
c
=
{\displaystyle (2a+2b+c)^{2}=(2a)^{2}+(2b)^{2}+c^{2}+2\times 2a\times 2b+2\times 2a\times c+2\times 2b\times c=}
=
4
a
2
+
4
b
2
+
c
2
+
8
a
b
+
4
a
c
+
4
b
c
{\displaystyle =4a^{2}+4b^{2}+c^{2}+8ab+4ac+4bc}
(
3
a
b
+
4
b
c
+
5
a
c
)
2
=
(
3
a
b
)
2
+
(
4
b
c
)
2
+
(
5
a
c
)
2
+
2
×
3
a
b
×
4
b
c
+
2
×
3
a
b
×
5
a
c
+
2
×
4
b
c
×
5
a
c
=
{\displaystyle (3ab+4bc+5ac)^{2}=(3ab)^{2}+(4bc)^{2}+(5ac)^{2}+2\times 3ab\times 4bc+2\times 3ab\times 5ac+2\times 4bc\times 5ac=}
=
9
a
2
b
2
+
16
b
2
c
2
+
25
a
2
c
2
+
24
a
b
2
c
+
30
a
2
b
c
+
40
a
b
c
2
{\displaystyle =9a^{2}b^{2}+16b^{2}c^{2}+25a^{2}c^{2}+24ab^{2}c+30a^{2}bc+40abc^{2}}
Dato un binomio
(
a
+
b
)
{\displaystyle (a+b)}
(
a
+
b
)
3
{\displaystyle (a+b)^{3}}
Regola
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
la somma di due termini
(
a
+
b
)
{\displaystyle (a+b)}
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
Regola
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
La somma dei cubi di due monomi
(
a
3
+
b
3
)
{\displaystyle (a^{3}+b^{3})}
Regola
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
N.B. Il termine
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle (a^{2}-ab+b^{2})}
falso quadrato di
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle (a-b)^{2}}
La differenza dei cubi di due monomi
(
a
3
−
b
3
)
{\displaystyle (a^{3}-b^{3})}
Regola
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
N.B. Il termine
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})}
falso quadrato di
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle (a+b)^{2}}
falso quadrato non è di per sé scomponibile in fattori di primo grado.
Regola
Esempio
Dato il polinomio
x
2
+
5
x
+
6
{\displaystyle x^{2}+5x+6}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
b
=
6
{\displaystyle ab=6}
a
+
b
=
5
{\displaystyle a+b=5}
a
=
3
{\displaystyle a=3}
b
=
2
{\displaystyle b=2}
x
2
+
5
x
+
6
=
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
{\displaystyle x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)}
Regola
(
a
+
b
)
2
+
(
a
−
b
)
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})}
(
a
+
b
)
2
−
(
a
−
b
)
2
=
4
a
b
{\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab}
Nella somma di questi quadrati, nelle basi cambia soltanto il segno di un termine (b ). Nel caso si sommino basi quasi uguali bisogna raddoppiare la somma dei quadrati; nel caso si sottraggano bisogna raddoppiare il doppio prodotto.
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Regola
