Analisi matematica/Derivata

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Derivata e differenziale della funzione y=f(x)[modifica]

1) Una funzione si dice derivabile nel punto se esiste determinato il limite del rapporto incrementale calcolato nel punto stesso quando l'incremento della variabile indipendente tende a zero, cioè se esiste il limite:

il quale limite si dice derivata di per

Se il limite suddetto esiste per ogni valore di un intervallo si pone:

funzione che rappresenta la derivata di in tutto

'esempio'

Se

e

onde

2) Una funzione si dice differenziabile nel punto se il suo incremento calcolato nel punto si può esprimere nel seguente modo:

essendo una quantità finita ed una quantità che tende a zero con

Se la precedente relazione vale in tutto la si dice differenziabile in Il primo termine del 2° menmbro si dice diferenziale della funzione e si scrive: da cui la relazione: .

Regole di derivazione[modifica]

  1. derivata di una somma o differenza
  2. derivata di un prodotto
  3. derivata di un quoziente
  4. derivata di funzione di funzione
  5. derivata della funzione inversa di y=f(x)
    cioè se la funzione data è invertibile nell'intervallo in cui si considera.
  6. derivata di cf(x)
  7. derivazione per serie
    Se una serie di funzioni continue è convergente in un intervallo (a,b), se le derivate sono continue e la serie è uniformemente convergente in (a,b), si ha:
    essendo la somma della serie data.

Derivate fondamentali[modifica]

Derivate e differenziali di ordine n[modifica]

Derivate e differenziali di una funzione z=f(x,y)[modifica]

  1. derivate parziali prime
  2. derivate parziali seconde
    cioè le derivate seconde miste sono uguali.
  3. derivate di una funzione composta mediante le funzioni:
  4. derivata secondo la direzione di coseni direttori e nel piano, e nello spazio:
    essendo la distanza di due punti posti sopra una retta parallela alla distanza data.
  5. differenziali totali di
    dove è un esponente simbolico e cioè va inteso come ordine di derivazione per le derivate e come esponente per e
  6. Un'espressione: si dice differenziale esatto se è il differenziale totale di una , cioè se:
    per il che è necessario e sufficiente che sia verificata la condizione:

Formule e regole fondamentali del calcolo differenziale[modifica]

  1. formula del valore medio per una funzione y=f(x) differenziabile nell'intervallo (x,x+h):
    con
  2. formula del valore medio per una funzione z=f(x,y) differenziabile in un campo C contenente il punto (x,y):
    con
  3. formula di Cauchy per due funzioni f(x) e g(x) differenziabili nell'intervallo (x,x+h) e con g'(x)≠0
    con
  4. formula di Taylor e di Mac-Laurin per una funzione f(y) differenziabile almeno fino all'ordine n:
    1. L'ultimo termine del secondo membro chiamasi termine complementare o resto. Si indica normalmente con e può assumere le seguenti forme:
  5. formule di Taylor e di Mac-Lorin per una funzione z=f(x,y) differenziabile fino all'ordine n:
  6. regola di Hopital per le forme indeterminate:
    1. Se il rapporto per x=c si presenta nelle forme:
      e se il limite del secondo membro esiste, e in caso contrario:
    essendo n il primo ordine delle derivate per le quali il limite del 2° membro esiste.
    • Le forme indeterminate del tipo si riconducono al caso a) mediante le trasformazioni:
    • Le forme indeterminate del tipo si riconducono ai casi precedenti ricorrendo ai logaritmi e precisamente se
  7. formule di eulero sulle funzioni omogenee:
    Se una funzione è omogenea, cioè tale che:
    essendo il grado di omogeneità, valgono per essa le relazioni:
    a)
    b)
    ....................
    c)
  8. sulla ricerca delle radici di un'equazione: f(x)=0
    a) Fra due radici di esiste almeno una radice di
    b) condizione necessaria e sufficiente perché sia radice multipla di ordine di è che si abbia: o