Analisi matematica/Esempi di integrazione coi diversi metodi

1. per decomposizione:

   $\int (3x^{2}+5x+-1)dx=3\int x^{2}dx+5\int xdx-\int dx=x^{3}+{5x^{2} \over 2}-x+c.$

2. per sostituzione:

   $\int (2x+1)^{2}dx={1 \over 2}\int t^{2}dt={(2x+1)^{3} \over 6},$

   avendo posto $\ :\quad 2x+1=t$ da cui$\ :\quad dx={dt \over 2}.$

3. per parti:

   $\int x\log x\ dx={x^{2}\log x \over 2}-\int {x^{2} \over 2}\ d(\log x)={x^{2}\log x \over 2}-{1 \over 2}\int x\ dx=$

   $={x^{2} \over 2}(\log x-{1 \over 2}),$

   avendo posto: $u=\log x,\quad xdx=dv$ da cui:

   $\ du={1 \over x}\ dx,\qquad v={x^{2} \over 2}.$

4. per serie:

   Essendo ${1 \over 1-x}=(1-x)^{-1}=1+x+x^{2}+.....dx$ una serie uniformemente convergente per $\ |x|<1$ si ha:

   $\int {dx \over 1-x}=\int (1+x+x^{2}+....)\ dx,$

   cioè integrando:

   $\ -\log(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n+1} \over n+1},$

   ovvero $\ :\qquad \log(1-x)=-(x+{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}+....).$