Analisi matematica/Sistemi lineari

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Sistemi lineari[modifica]

=== n equazioni in n incognite non omogenee:=== cioè sistemi quadrati

dove D è il determinante dei coefficienti e è quello che si deduce da esso sostituendo la colonna dei coefficienti dell'incognita con la colonna dei termini noti.

Il sistema è determinato se il sistema è impossibile se D=0 e qualche se infine il sistema dato è indeterminato o impossibile.

m equazioni in n incognite non omogenee:[modifica]

.
Condizione di esistenza delle soluzioni:

la matrice dei coefficienti e quella dei coefficienti e termini noti devono avcere la stessa caratteristica.(teorema di Rouchè-Capelli)

soluzione: Se la caratteristica è r, si considerano r equazioni in r incognite in modo che il loro determinante sia , allora, assegnando alle residue n-r incognite valori arbitrari, si risolve il sistema con la regola di Cramer.

Le rimanenti equazioni sono conseguenza delle prime la relazione che lega linearmente una di queste alle precedenti è:

dove rappresenta il primo membro della equazione del sistema uguagliata a ed il determinante do ordine formato con i coefficienti delle prime equazioni è Il sistema è volte indeterminato.

n equazioni lineari omogenee in n incognite:[modifica]

sistema

Condizione di esistenza di soluxioni in cui non tutte le xi siano 0: il determinante del sistema deve essere 0.

soluzione: Se r è la caratteristica, per la ricerca delle soluzioni si procede come nel caso B.

m equazioni lineari omogenee in n incognite:[modifica]

sistema

Condizioni di esistenza di soluzioni proprie, in cui cioènon tutte le xi siano 0: la caratteristica della matrice dei coefficienti deve essere minore del numero delle incognite.

Soluzione. Se la caratteristica è r, si considerano r equazioni in r incognite in modo che il determinante del sistema sia ≠0 e si risolve con la regola di Cramer portando n-r incognite nei secondi membri. Le rimanenti m-r equazioni sono conseguenza delle prime r.

Se in particolare la caratteristica è n-1, le incognite risultano proporzionali ai minori di ordine n-1: A1, A2, ...An, che figurano nella matrice formata dalle n-1 equazioni indipendenti; precisamente si ha: x_{i}=(-1){i-1}ρAi, essendo Ai il minore ottenuto sopprimendo la colonna ima e ρ un fattore di proporzionalità.

sistemi non lineari[modifica]

Per tali sistemi si procede in generale col metodo di eliminazione cercando di ottenere una risolvente ad una sola incognita, risolta la quale si possono calcolare le altre incognite con successive sostituzioni.