Analisi matematica/Funzioni algebriche razionali

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funzioni algebriche razionali notevoli[modifica]

  1. formula di Lagrange
se
e

essendo x0 ...xn; A0...An numeri noti, il polinomio f(x) è dato dalla formula: f(x)=A0f0(x)+A1f1(x)+...+Anfn(n),

Da questa formula consegue:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinimio si annulli per è che esso sia divisibile per

Condizione necessaria e sufficientee perché due polinomi siano identicamente uguali, cioè uguali per ogni valore della è che abbiano uguali i coefficienti delle stesse potenze della

potenza del binomio con n intero e positivo[modifica]

dove

Il numeratore di questa frazione rappresenta il numero delle disposizioni di n elementi a k a k. Il denominatore, che si dice fattoriale di k, rappresenta il numero delle permutazioni di k elementi. Infine il numero che si dice coefficiente binomiale rappresenta il numero delle combinazioni di n elementi a k a k.

I coefficienti binomiali godono delle proprietà:

potenza del polinomio con m intero e positivo:[modifica]

la somma essendo estesa a tutti quei gruppi di numeri λ12,..λn interi tali che λ12+...+λn=m..

scomposizione di un polinomio in fattori[modifica]

L'equazione

può avere:

radici reali semplici
radici reali multiple

con i rispettivi ordini di moltiplicità:

radici complesse semplici
radici complesse multiple

con e con i rispettivi ordini di moltiplicità e sarà:

In conseguenza il polinomio è divisibile per le funzioni:

ovvero

ovvero

ovvero

Se ha radici reali semplici

radice reale tripla
radici complesse semplici
radici complesse doppie

il polinomio è decomponibile in fattori nel seguente modo:

Se invece ha radici reali semplici si ha:

trasformazione di funzioni algebriche razionali fratte[modifica]

dove è un polinomio di grado e le sono costanti da determinare, riducendo i due membri a forma intera e poi applicando ai medesimi il principio di identità dei polinomi, ovvero ponendo successivamente

Le costanti si determinano ancora riducendo l'eguaglianza a forma intera ed applicando poi il principio di identità dei polinomi.

relazioni fra radici e coefficienti dell'equazione: f(x)=0[modifica]

Queste relazioni permettono di costruire un'equazione note le sue radici.

discriminante di un'equazione algebrica[modifica]

è la funzione simmetrica delle radici:

Questo determinante si può anche esprimere come funzione rszionale intera con coefficienti interi dei coefficienti dell'equazione data. L'annullarsi del discriminante dell'equazione esprime la condizione necessaria e sufficiente perché l'equazione abbia raici multiple.

Per l'equazione si ha: e per l'equazione si ha:

risultante di due equazioni algebriche[modifica]

campo di razionalità[modifica]

Un sistema di numeri reali o complessi forma un campo di razionalità quando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore ≠0), riproducono numeri del sistema stesso. I numeri del sistema sono gli elementi del campo.