Principi di insiemistica e funzioni elementari
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Numeri reali
- Numeri reali (seconda parte)
- Numeri complessi
- Funzioni
- Funzioni circolari
- Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
- Successioni reali
- Limiti di successioni reali
- Teoremi sulle successioni
- Algebra dei limiti delle successioni
- Esistenza del limite di una successione
- Limiti inferiori e superiori
- Forme indeterminate di successioni
- Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
- Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
- Compattezza di un insieme
- Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
- Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
- Algebra dei limiti
- Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
- Analisi matematica I/Funzioni monotone
- Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
- Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
- Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in
e studio di funzioni
- Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
- Analisi matematica I/Algebra delle derivate
- Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
- Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
- Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
- Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
- Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
- Analisi matematica I/Integrale di Riemann
- Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
- Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
- Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
- Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
- Analisi matematica I/Successioni di funzioni
- Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
- Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
- Note storiche sugli insiemi
- I numeri reali
- I numeri complessi
- Sommatorie
- progressione geometrica
- fattoriale di n
- formula di Newton
- Potenze e radicali
- Esponenziali e logaritmi
- Insiemi infiniti
- Massimi e minimi
- Funzioni
Serie e successioni
- Successioni: definizione
- Limiti: definizione
- Successioni monotone
- Calcolo dei limiti
- Limite di successioni
- Il numero di Nepero (e)
- Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
- Limiti notevoli
- Serie numeriche: definizione
- Serie a termini non negativi
- Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
- Limiti di funzioni da R a R
- Limiti di funzioni da Rn a Rm
- Funzioni numeriche e generalità
- Grafico di una funzione
- Funzioni limitate
- Funzioni simmetriche, pari e dispari
- Funzioni monotone
- Funzioni periodiche
- Limiti, continuità, asintoti
- Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
- Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
- Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Introduzione
- Il rapporto incrementale
- Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
- Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
- Le derivate fondamentali
- Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
- Il teorema di de L’Hospital
- Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
- o piccolo
- Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
- Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
- Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
- L’integrale come limite di somme
- Proprietà dell'integrale
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodo di ricerca della primitiva
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
- Funzioni integrabili
- integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
- Integrazione di funzioni non limitate
- Criteri di integrabilità al finito
- Integrazione su intervalli illimitati
- Criteri di integrabilità all’infinito
- Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
- Integrazione delle funzioni trigonometriche
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funzioni algebriche razionali notevoli[modifica]
- formula di Lagrange
- se

- e

essendo x0 ...xn; A0...An numeri noti, il polinomio f(x) è dato dalla formula: f(x)=A0f0(x)+A1f1(x)+...+Anfn(n),
Da questa formula consegue:
Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinimio si annulli per
è che esso sia divisibile per
Condizione necessaria e sufficientee perché due polinomi siano identicamente uguali, cioè uguali per ogni valore della
è che abbiano uguali i coefficienti delle stesse potenze della
potenza del binomio
con n intero e positivo[modifica]

dove
Il numeratore di questa frazione rappresenta il numero delle disposizioni di n elementi a k a k. Il denominatore, che si dice fattoriale di k, rappresenta il numero delle permutazioni di k elementi. Infine il numero
che si dice coefficiente binomiale rappresenta il numero delle combinazioni di n elementi a k a k.
I coefficienti binomiali godono delle proprietà:


potenza del polinomio
con m intero e positivo:[modifica]

la somma essendo estesa a tutti quei gruppi di numeri λ1,λ2,..λn interi tali che λ1+λ2+...+λn=m..
scomposizione di un polinomio in fattori[modifica]
L'equazione
può avere:
radici reali semplici 
radici reali multiple 
con i rispettivi ordini di moltiplicità:
radici complesse semplici 
radici complesse multiple 
con
e con i rispettivi ordini di moltiplicità
e sarà:

In conseguenza il polinomio
è divisibile per le funzioni:

ovvero
ovvero
ovvero
Se
ha
radici reali semplici
radice reale tripla 
radici complesse semplici 
radici complesse doppie 
il polinomio
è decomponibile in fattori nel seguente modo:
![{\displaystyle \ f(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})(x-\alpha _{3})(x-\beta )^{3}[(x-\gamma )^{2}+\varepsilon ^{2}][(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1780531cc05d7ed45b9a485a40b07192744cb537)
Se
invece ha
radici reali semplici si ha:

trasformazione di funzioni algebriche razionali fratte[modifica]
dove
è un polinomio di grado
e le
sono costanti da determinare, riducendo i due membri a forma intera e poi applicando ai medesimi il principio di identità dei polinomi, ovvero ponendo successivamente
Le costanti
si determinano ancora riducendo l'eguaglianza a forma intera ed applicando poi il principio di identità dei polinomi.
relazioni fra radici e coefficienti dell'equazione: f(x)=0[modifica]

Queste relazioni permettono di costruire un'equazione note le sue radici.
discriminante di un'equazione algebrica[modifica]
è la funzione simmetrica delle radici:

Questo determinante si può anche esprimere come funzione rszionale intera con coefficienti interi dei coefficienti dell'equazione data. L'annullarsi del discriminante dell'equazione
esprime la condizione necessaria e sufficiente perché l'equazione abbia raici multiple.
Per l'equazione
si ha:
e per l'equazione
si ha:
risultante di due equazioni algebriche[modifica]
campo di razionalità[modifica]
Un sistema di numeri reali o complessi forma un campo di razionalità quando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore ≠0), riproducono numeri del sistema stesso. I numeri del sistema sono gli elementi del campo.