Analisi matematica/Funzioni algebriche razionali

Formula di Lagrange

se $\ f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+..+a_{n}x+a_{n}$

e $\ f(x_{0})=A_{0},\quad f(x_{1})=A_{1},...+\quad f(x_{n})=A_{n}$

essendo x₀ ...x_n; A₀...A_n numeri noti, il polinomio f(x) è dato dalla formula: f(x)=A₀f₀(x)+A₁f₁(x)+...+A_nf_n(n),

$\ dove:\qquad f_{i}(x)={(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_{n}) \over (x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})...(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})...(x_{i}-x_{n})}$

Da questa formula consegue:

1. teorema di Ruffini: Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio si annulli per $\ x=x_{0}$ è che esso sia divisibile per $x-x_{0}.$
2. principio di identità dei polinomi: condizione necessaria e sufficiente perché due polinomi siano identicamente uguali, cioè uguali per ogni valore della $x,$ è che abbiano uguali i coefficienti delle stesse potenze della $\ x.$

Potenza del binomio $\ (x+y)^{n}$ con n intero e positivo

$\ (x+y)^{n}=x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+...+{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+...+{\binom {n}{n}}y^{n},$

dove $:\qquad {\binom {n}{k}}={n(n-1)...(n-k+1) \over k!}$

Il numeratore di questa frazione rappresenta il numero delle disposizioni di n elementi a k a k. Il denominatore, che si dice fattoriale di k, rappresenta il numero delle permutazioni di k elementi. Infine il numero ${\binom {n}{k}}=C_{n,k}$ che si dice coefficiente binomiale rappresenta il numero delle combinazioni di n elementi a k a k.

I coefficienti binomiali godono delle proprietà:

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}};\quad {\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}={\binom {n+1}{k}};\quad {\binom {n}{k}}={\binom {n}{k-1}}{n-k+1 \over k};$

${\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+...+{\binom {n}{n}}=2^{n};\quad {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{2}}+{\binom {n}{4}}+..={\binom {n}{1}}+{\binom {n}{3}}+...$

Potenza del polinomio $\ (x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^{m}$ con m intero e positivo:

$(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^{m}=\sum {m! \over \lambda _{1}!\lambda _{2}!...\lambda _{n}!}\ x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}...x_{n}^{\lambda _{n}},$

la somma essendo estesa a tutti quei gruppi di numeri λ₁,λ₂,..λ_n interi tali che λ₁+λ₂+...+λ_n=m..

scomposizione di un polinomio in fattori

L'equazione$:\qquad f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$

può avere:

$\ k$ radici reali semplici $\ :\quad \alpha _{1},\alpha _{2}....\alpha _{k}$

$\ h$ radici reali multiple $\ :\quad \beta _{1},\beta _{2},...\beta _{h};$

con i rispettivi ordini di moltiplicità: $\ r_{1},r_{2},...r_{h}$

$\ s$ radici complesse semplici $\ :\quad \gamma _{m}\pm i_{\varepsilon _{m}}\quad con\ m=1,2,...s;$

$\ t$ radici complesse multiple $\ :\quad (\mu _{m}\pm i_{\nu _{m}})$

con $\ m=1,2,...t$ e con i rispettivi ordini di moltiplicità $\ l_{1},l_{2},...l_{t}$ e sarà:

$\ k+r_{1}+r_{2}+..+r_{h}+2s+2(l_{1}+l_{2}+..+l_{t})=n.$

In conseguenza il polinomio $\ f(x)$ è divisibile per le funzioni:

$\ x-\alpha _{m}\qquad m=1....k,$

ovvero$:\qquad (x-\beta _{m})^{r_{m}}\qquad m=1....h,$

ovvero$:\qquad (x-\gamma _{m})^{2}+\varepsilon _{m}^{2}\qquad m=1...s,$

ovvero$:\qquad [(x-\mu _{m})^{2}+\nu _{m}^{2}]^{l_{m}}\qquad m=1....t$

Se $\ f(x)$ ha $\ :\qquad 3$ radici reali semplici $\ :\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$

$\ 1$ radice reale tripla $\ :\quad \beta$

$\ 2$ radici complesse semplici $\ :\quad \gamma \pm i_{\varepsilon }$

$\ 2$ radici complesse doppie $\ :\quad \mu \pm i_{\nu }$

il polinomio $\ f(x)$ è decomponibile in fattori nel seguente modo:

$\ f(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})(x-\alpha _{3})(x-\beta )^{3}[(x-\gamma )^{2}+\varepsilon ^{2}][(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{2}.$

Se $\ f(x)$ invece ha $\ n$ radici reali semplici si ha:

$\ f(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})....(x-\alpha _{n}).$

Trasformazione di funzioni algebriche razionali fratte

$\ a)\quad {x^{m}-a_{m} \over x-a}=x^{m-1}+ax^{m-2}+a^{2}x^{m-3}+....+a^{m-2}+a^{m-1}$

$\ b)\quad {x^{2m}-a^{2m} \over x+a}=x^{2m-1}-ax^{2m-2}+....-a^{2m-1}$

$\ c)\quad {x^{2m+1}+a^{2m+1} \over x+a}=$

$\ d)\quad {f(x) \over (x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})...(x-\alpha _{n})}=$

dove $\ f(x)$ è un polinomio di grado $\ <n$ e le $\ c$ sono costanti da determinare, riducendo i due membri a forma intera e poi applicando ai medesimi il principio di identità dei polinomi, ovvero ponendo successivamente $\ x=\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n}.$

$\ e)\quad {f(x) \over (x-\alpha )[(x-\beta )^{2}+\gamma ^{2}]}={c_{1} \over x-\alpha }+{c_{2}x+c_{3} \over (\alpha -\beta )^{2}+\gamma ^{2}}$

$\ f)\quad {f(x) \over (x-\alpha )(x-\beta )^{r}}={c_{1} \over (x-\alpha )}+{c_{2} \over (x-\beta }+{c_{2} \over (x-\beta )^{2}}+...+{c_{r+1} \over (x-\beta )r}$

Le costanti $\ c_{i}$ si determinano ancora riducendo l'eguaglianza a forma intera ed applicando poi il principio di identità dei polinomi.

Relazioni fra radici e coefficienti dell'equazione: f(x)=0

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-{a_{1} \over a_{0}}\\x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}={a_{2} \over a_{0}}\\...\\\sum x_{1}x_{2}...x_{r}=(-1)^{r}{a_{r} \over a_{0}}\\x_{1}x_{2}....x_{n}=(-1)^{n}{a_{n} \over a_{0}}.\end{cases}}$

Queste relazioni permettono di costruire un'equazione note le sue radici.

Discriminante di un'equazione algebrica

è la funzione simmetrica delle radici:

$\ D=a_{0}^{2n-2}{\begin{vmatrix}1&1&.....&1\\x_{1}&x_{2}&.....&x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&.....&x_{n}^{2}\\...&...&...&...\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&.....&x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

Questo determinante si può anche esprimere come funzione rszionale intera con coefficienti interi dei coefficienti dell'equazione data. L'annullarsi del discriminante dell'equazione $\ f(x)=0$ esprime la condizione necessaria e sufficiente perché l'equazione abbia raici multiple.

Per l'equazione $\ ax^{2}+bx+c=0$ si ha: $\ D=b^{2}-4ac$ e per l'equazione $\ x^{3}+px+q=0,$ si ha: $\ D=-108({p^{3} \over 27}+{q^{2} \over 4}).$

Campo di razionalità

Un sistema di numeri reali o complessi forma un campo di razionalità quando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore ≠0), riproducono numeri del sistema stesso. I numeri del sistema sono gli elementi del campo.