Analisi matematica/Regole di integrazione

1. Per decomposizione:

   $\int {}[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)]dx=c_{1}\int {}{}f_{1}dx+c_{2}\int {}{}f_{2}(x)dx$

   (proprietà distributiva dell'integrale)

2. per sostituzione:

   $\int {}{}f(x)dx=\int {}{}f[x(t)]{dx \over dt}dt$

   avendo posto: $\ x=x(t),$ da cui:$\ dx={dx \over dt}dt$

3. Per parti:

   $\int {}{}u(v)dv=u(x)v(x)-\int {}{}v(x)du;$

   $\ u(x)$ si dice: 'fattore finito

   $\ dv$ si dice: fattore differenziale, perché è il diferenziale di una funzione v(x) nota.

4. Per serie:

   Una serie di funzioni è integrabile termine a termine se:

   $\ a)\qquad :\ \sum _{n=1}^{\infty }\int {}{}u_{n}(x)dx$ è convergente in un intervallo $\ (a,b),$

   $\ b)\qquad :$ la somma $\ S(x)$ della serie e le funzioni $\ u_{n}(x)$ sono in $\ (a,b)$ integrabili,

   $\ c)\qquad :\int {}{}S(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int {}{}u_{n}(x)dx.$

   Una serie uniformemente convergente di funzioni continue in un intervallo $\ (a,b)$ è integrabile termine a termine nello stesso intervallo.

   In particolare, se una funzione è sviluppabile in serie di Mac-Laurin in un intervallo $\ (-r,r)$, nello stesso intervallo è integrabile termine a termine.