Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni
= parte reale
;
= parte immaginaria
;
= modulo;
= fase (o argomento);
= unità immaginaria
Una coppia ordinata
di numeri reali, tali che:
se
numero reale,
definisce un numero detto numero complesso.
Esso può rappresentarsi in varie forme:
- algebrica:
dove
unità immaginaria;
- trigonometrica:

- geometrica: mediante un punto
di coordinate
in un sistema cartesiano; il punto
si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gauss.
La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.

La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.


ovvero:
![{\displaystyle \ [\rho (cos\theta +i\sin \theta )]\cdot [\rho '(\cos \theta '+i\sin \theta ')]=\rho \rho '[cos(\theta +\theta ')+i\sin(\theta +\theta ')],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b946a29b4c296273c20ee1f26d8f3de1b5061d9)
cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

ovvero:
![{\displaystyle {\rho (\cos \theta +i\sin \theta ) \over \rho '(cos\theta '+i\sin \theta ')}={\rho \over \rho '}[cos(\theta -\theta ')+i\sin(\theta -\theta ')]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f74f3b14f439bda9b15ac0ae03e104ef881d32)
![{\displaystyle \ (a+ib)^{n}=[\rho (cos\theta +i\sin \theta )]^{n}=\rho ^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5659214353a89e4a9615bb2ab520a02cafae126e)
(formula di Moivre).
In particolare:


(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:

![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+ib}}={\sqrt[{n}]{\rho \ (cos\theta +i\ sin\theta )}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\ [cos{\theta +2k\pi \over n}+i\ sin{\theta +2k\pi \over n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7780bfa8f6db9e72a85618e3bda2fe92e760573)
con
Questi
numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia:
In particolare:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}=cos{2k\pi \over n}+i\ sin{2k\pi \over n},\qquad {\sqrt[{n}]{-1}}=cos{(2k+1)\pi \over n}+i\ \sin {(2k+1)\pi \over n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8a782339f7cdbe8163a81d7fba70b9a3874a96)
- dove

![{\displaystyle \log[\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )]=log\ \rho +i\theta +2k\pi i,\qquad k=0,1,2...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2454e8db4149b63ef27e17e63ebce2503ad87669)
Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.
Due numeri:
si dicono: complessi coniugati e si indica
.
I numeri complessi coniugati hanno le proprietà che:
- la loro somma è
;
- il loro prodotto è
;
- i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse

Due numeri:
si dicono contrari. Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.
Due numeri complessi si dicono reciproci se:
- i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse

- i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro
e raggio 