Analisi matematica/Numeri complessi

Nomenclatura

Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni

$\ a$ = parte reale $\ \left(a\in R\right)$;

$\ b$ = parte immaginaria $\ \left(b\in R\right)$;

$\ \rho$ = modulo;

$\ \theta$ = fase (o argomento);

$\ i$ = unità immaginaria

Definizioni

Una coppia ordinata $\ (a,b)$ di numeri reali, tali che:

$a):\qquad (a,b)=(a^{,},b^{,})$ se $\ a=a^{,},b=b^{,},$

$b):\qquad (a,0)=a$ numero reale,

$c):\qquad (a,b)+(a^{,},b^{,})=(a+a^{,},b+b^{,}),$

$d):\qquad (a,b)\cdot (a^{,},b^{,})=(aa^{,}-bb^{,},ab^{,}+a^{,}b),$

definisce un numero detto numero complesso.

Esso può rappresentarsi in varie forme:

1. algebrica:$\ (a,b)=a+ib,$ dove $\ i=(0,1)=$ unità immaginaria;
2. trigonometrica: $\ a+ib=\rho (cos\theta +i\ sin\theta )$
3. geometrica: mediante un punto $\ P\equiv (a,b)$ di coordinate $\ (a,b)$ in un sistema cartesiano; il punto $\ P$ si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gauss.

Operazioni

Addizione

La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.

$\ z_{1}=a+ib$

$\ z_{2}=a'+ib'$

$\ z_{3}=z_{1}+z_{2}=(a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')$

Sottrazione

La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.

$\ z_{1}=a+ib$

$\ z_{2}=a'+ib'$

$\ z_{3}=z_{1}-z_{2}=(a+ib)-(a'+ib')=(a-a')+i(b-b')$

Moltiplicazione

$\ (a+ib)\cdot (a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b),$

ovvero:

$\ [\rho (cos\theta +i\sin \theta )]\cdot [\rho '(\cos \theta '+i\sin \theta ')]=\rho \rho '[cos(\theta +\theta ')+i\sin(\theta +\theta ')],$

cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

Divisione

${a+ib \over a'+ib'}={(a+ib)(a'-ib') \over a'^{2}+b'^{2}}={aa'+bb'+i(a'b-ab') \over a'^{2}+b'^{2}}$

ovvero:

${\rho (\cos \theta +i\sin \theta ) \over \rho '(cos\theta '+i\sin \theta ')}={\rho \over \rho '}[cos(\theta -\theta ')+i\sin(\theta -\theta ')]$

Elevazione a potenza

$\ (a+ib)^{n}=[\rho (cos\theta +i\sin \theta )]^{n}=\rho ^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )$

(formula di Moivre).

In particolare:

$i^{4k+1}=i\qquad i^{4k+2}=-1\qquad i^{4k+3}=-i\qquad i^{4k+4}=1$

Potenza con esponente immaginario

$\ e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x$

(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:

$\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )=\rho e^{i\theta }=e^{log\rho +i\theta }$

Estrazione di radice

${\sqrt[{n}]{a+ib}}={\sqrt[{n}]{\rho \ (cos\theta +i\ sin\theta )}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\ [cos{\theta +2k\pi \over n}+i\ sin{\theta +2k\pi \over n}]$

con$:\qquad \ k=0,1,2...n-1.$

Questi $\ n$ numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia: $\ x^{n}=a+ib.$

In particolare:

${\sqrt[{n}]{1}}=cos{2k\pi \over n}+i\ sin{2k\pi \over n},\qquad {\sqrt[{n}]{-1}}=cos{(2k+1)\pi \over n}+i\ \sin {(2k+1)\pi \over n}$

dove $:\qquad k=0,1,2...n-1$

Logaritmo di un numero complesso

$\log[\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )]=log\ \rho +i\theta +2k\pi i,\qquad k=0,1,2...$

Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.

Legami particolari tra numeri complessi

Numeri complessi coniugati

Due numeri:

$\ z_{1}=a+ib$

$\ z_{2}=a-ib$

si dicono: complessi coniugati e si indica $\ z_{2}={\overline {z_{1}}}$.

I numeri complessi coniugati hanno le proprietà che:

1. la loro somma è $\ 2a$;
2. il loro prodotto è $\ a^{2}+b^{2}$;
3. i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse $\ x$

Numeri contrari

Due numeri:

$\ z_{1}=a+ib$

$\ z_{2}=-a-ib$

si dicono contrari. Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.

Numeri reciproci

Due numeri complessi si dicono reciproci se:

1. i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse $\ x$
2. i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro $\ 0$ e raggio $\ 1$