Analisi matematica/Numeri complessi

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Nomenclatura[modifica]

Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni

= parte reale ;

= parte immaginaria ;

= modulo;

= fase (o argomento);

= unità immaginaria

Definizioni[modifica]

Una coppia ordinata di numeri reali, tali che:

se

numero reale,

definisce un numero detto numero complesso.

Esso può rappresentarsi in varie forme:

  1. algebrica: dove unità immaginaria;
  2. trigonometrica:
  3. geometrica: mediante un punto di coordinate in un sistema cartesiano; il punto si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gauss.

Operazioni[modifica]

Addizione[modifica]

La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.

Sottrazione[modifica]

La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.

Moltiplicazione[modifica]

ovvero:

cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

Divisione[modifica]

ovvero:

Elevazione a potenza[modifica]

(formula di Moivre).

In particolare:

Potenza con esponente immaginario[modifica]

(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:

Estrazione di radice[modifica]

con

Questi numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia:

In particolare:

dove


Logaritmo di un numero complesso[modifica]

Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.

Legami particolari tra numeri complessi[modifica]

Numeri complessi coniugati[modifica]

Due numeri:

si dicono: complessi coniugati e si indica .

I numeri complessi coniugati hanno le proprietà che:

  1. la loro somma è ;
  2. il loro prodotto è ;
  3. i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse

Numeri contrari[modifica]

Due numeri:

si dicono contrari. Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.


Numeri reciproci[modifica]

Due numeri complessi si dicono reciproci se:

  1. i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse
  2. i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro e raggio