Analisi matematica/Problemi fondamentali

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Problemi fondamentali[modifica]

Data una equazione differenziale ad es. ordinaria, risolverla significa trovare la famiglia di funzioni:

che la soddisfano identicamente.

La soluzione si dice integrale generale, se invece si danno alle costanti dei valori particolari si ottiene un integrale particolare, si dice infine integrale singolare una funzione non deducibile dalla e che sia soluzione dell'equazione data; se la famiglia ammette un inviluppo, la funzione corrispondente è un integrale singolare dell'equazione data.

Le costanti sono tante quanto è l'ordine dell'equazione; esse si possono determinare imponendo n condizioni iniziali alle . Se l'equazione differenziale è in forma normale cioè nella forma , si dimostra che se è continua con le sue derivate parziali prime in un intorno di , in tale intorno esiste una sola soluzione soddisfacente alle condizioni iniziali.

Esempio:

Sia data l'equazione ,essa può scriversi: , da cui si trae: ovvero: avendo posto: .

La famiglia di curve rappresentante l' integrale generale è dunque: .

Se si vuole la curva della famiglia che passa per il punto basta determinare con l'equazione:

e quindi: è un integrale particolare.

Data una famiglia di funzioni:

eliminare ler costanti significa trovare l'equazione differenziale cui soddisfano tutte le funzioni della famiglia

data.

Per raggiungere lo scopo si calcolano le prime n derivate della funzione data e poi dal sistema così ottenuto si

eliminano le costanti.

Sia data la famiglia:

che è l'equazione del moto armonico semplice, si vuole trovarne l'equazione differenziale.

Derivando si ha:

,

Da quest'ultima confrontata con la data si trae:

che è l'equazione cercata.