Analisi matematica/Tipi di integrali definiti

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I diversi tipi di integrale definito[modifica]

1) integrale lineare[modifica]

a) definizioni[modifica]

intervallo (a, b) dell'asse x,

essendo la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.

b) significato geometrico[modifica]

L'integrale considerato rappresenta:

"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".

Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

c) teorema della media[modifica]

essendo un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).

Se la funzione è continua, essendo: a<c<b.

d) formule di integrazione approssimata[modifica]

essendo: e le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).

avendo lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

e) formula per il cambiamento di variabile[modifica]

Se si pone: si ha :

quando la funzione è continua in e le funzioni sono continue in ed inoltre

2) integrale curvilineo[modifica]

1° tipo[modifica]

a) definizioni

essendo l'arco avente per estremi i punti:

L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.

Se la curva è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:



b) significato geometrico :

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.

2° tipo[modifica]

a) definizioni:

con arco della curva ,

essendo con e

Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:

b) significato geometrico:

rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco e altezza variabile data da:

3) integrale doppio di campo[modifica]

a) definizioni[modifica]

regione semplice del piano limitata da archi :
archi inferiori ,
archi superiori ,
archi a sinistra ,
archi a desra .


con variabili indipendenti,
avendo posto:

dove è il rettangolo circoscritto alla regione limitato dalle rette

b) calcolo per integrazioni successive[modifica]

Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .

c) significato geometrico[modifica]

Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.

d) teorema della media[modifica]

essendo area della regione e dove e sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di in

Se è continua in esendo un punto di

e) teorema di Gauss[modifica]

essendo una funzione continua in e il contorno chiuso di

f) formula di Green o di Stokes[modifica]

essendo e funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice , il contorno chiuso della regione

Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.

g) formula per il cambiamento di variabili[modifica]

Se si pone:

essendo le e continue in una regione del piano e se in si ha la formula :

dove è la regione di corrispondente alla regione di

Se in particolare si pone:

(trasformazione polare),

e la formula diventa :

4) integrale triplo[modifica]

a) definizioni[modifica]

regione semplice spaziale
con variabili indipendenti\ ,

dove è il parallelepipedo circoscritto alla regione con le facce parallele ai piani coordinati e

b) calcolo per integrazioni successive[modifica]

essendo : e le ascisse dei punti in cui una parallela generica all'asse incontra la superficie limitatrice della regine e sono le di contatto delle tangenti parallele all'asse alla seione della superficie con un piano parallelo al piano per la retta infine le e sono le dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano

c) significato fisico[modifica]

rappresenta la massa della regione quando ne rappresenti la densità.

d) teorema della media[modifica]

essendo il volume della regione ed avendo il solito significato .

e) formula per il cambiamento di variabili[modifica]

Se si pone

essendo le funzioni continue in una regione dello spazio e si ha :

f) teorema della divergenza[modifica]

essendo : con componenti di ed un elemento della superficie che chiude