Integrale lineare[modifica]
intervallo (a, b) dell'asse x,


essendo
la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.
Significato geometrico[modifica]
L'integrale considerato rappresenta:
"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".
Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.
Teorema della media[modifica]

essendo
un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).
Se la funzione è continua,
essendo: a<c<b.
Formule di integrazione approssimata[modifica]
essendo:
e
le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).
avendo
lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).
Formula per il cambiamento di variabile[modifica]
Se si pone:
si ha :
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[\varphi (t)]\varphi '(t)\ dt\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1375720d3fc7b49adf5d904bab3633bd729edd)
quando la funzione
è continua in
e le funzioni
sono continue in
ed inoltre
Integrale curvilineo[modifica]
a) definizioni
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta x_{i}=\int _{\gamma }f(x,y)dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e032e011f5ad88f9c65ed0fbd07b4e528baaff08)
![{\displaystyle \ =\int _{a}^{b}f[(x,\phi (x)]dx=\int _{a}^{b}g(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b40a98e2561efcbb35a74c770770a716915018)
essendo
l'arco
avente per estremi i punti:
![{\displaystyle \ A=[a,\phi (a)];\qquad B=[b,\phi (b)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948a62e0791e52ceb3f2516ca97ffc35b1c3c3d4)
L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.
Se la curva
è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:
![{\displaystyle \int _{\gamma }^{}f(x,y)dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5f73f175a9da0720fef2d933c0ae8c94a6d717)
b) significato geometrico :
rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.
a) definizioni:
con
arco della curva ,
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta s_{i}=\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b335df0f48cb3265590c1823f83de752f1752d15)
![{\displaystyle \ =\int _{a}^{b}f[x,\phi (x)]{\sqrt {1+{\phi }^{'2}(x)}}\ dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9907859629e777a6ef4cd2c52a8b55ddc8b3a14c)
essendo
con
e
Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:
![{\displaystyle \int _{\gamma }{}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f[x(t),y(t)]{\sqrt {x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}}\ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1176e1293afef8d039c1e46cc1efe1e28a5301)
b) significato geometrico:
rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco
e altezza variabile data da:
Integrale doppio di campo[modifica]
regione semplice
del piano
limitata da archi:
archi inferiori,
archi superiori,
archi a sinistra,
archi a destra.
con
variabili indipendenti,

- avendo posto:

dove
è il rettangolo circoscritto alla regione
limitato dalle rette
Calcolo per integrazioni successive[modifica]

Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .
Significato geometrico[modifica]
Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.
Teorema della media[modifica]
essendo
area della regione
e
dove
e
sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di
in
Se
è continua in
esendo
un punto di
Teorema di Gauss[modifica]


essendo
una funzione continua in
e
il contorno chiuso di
Formula di Green o di Stokes[modifica]

essendo
e
funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice
,
il contorno chiuso della regione
Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.
Formula per il cambiamento di variabili[modifica]
Se si pone:

essendo le
e
continue in una regione
del piano
e se
in
si ha la formula :
![{\displaystyle \int \int _{\Omega }^{}f(x,\ y)dx\ dy=\int \int _{\wedge }^{}f[\psi (u,v),\varphi (u,v)]J{\begin{vmatrix}\psi &\varphi \\u&v\end{vmatrix}}\ du\ dv\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4789d6e0dfea9d3e3d7174d45ce31e0a3da964b0)
dove
è la regione di
corrispondente alla regione
di
Se in particolare si pone:
(trasformazione polare),

e la formula diventa :

Integrale triplo[modifica]
regione semplice spaziale 
con
variabili indipendenti\ ,


dove
è il parallelepipedo circoscritto alla regione
con le facce parallele ai piani coordinati e

Calcolo per integrazioni successive[modifica]

essendo :
e
le ascisse dei punti
in cui una parallela generica all'asse
incontra la superficie limitatrice della regine
e
sono le
di contatto
delle tangenti parallele all'asse
alla seione della superficie con un piano parallelo al piano
per la retta
infine le
e
sono le
dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano
Significato fisico[modifica]
rappresenta la massa della regione
quando
ne rappresenti la densità.
Teorema della media[modifica]

essendo
il volume della regione
ed avendo
il solito significato .
Formula per il cambiamento di variabili[modifica]
Se si pone
essendo le
funzioni continue in una regione
dello spazio
e
si ha :
Teorema della divergenza[modifica]

essendo :
con
componenti di
ed
un elemento della superficie
che chiude