Integrale lineare[modifica]
- intervallo (a, b) dell'asse x,
essendo la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.
Significato geometrico[modifica]
L'integrale considerato rappresenta:
"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".
Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.
Teorema della media[modifica]
essendo un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).
Se la funzione è continua, essendo: a<c<b.
Formule di integrazione approssimata[modifica]
essendo: e le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).
avendo lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).
Formula per il cambiamento di variabile[modifica]
Se si pone: si ha :
quando la funzione è continua in e le funzioni sono continue in ed inoltre
Integrale curvilineo[modifica]
a) definizioni
essendo l'arco avente per estremi i punti:
L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.
Se la curva è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:
b) significato geometrico :
rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.
a) definizioni:
con arco della curva ,
essendo con e
Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:
b) significato geometrico:
rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco e altezza variabile data da:
Integrale doppio di campo[modifica]
- regione semplice del piano limitata da archi:
- archi inferiori,
- archi superiori,
- archi a sinistra,
- archi a destra.
- con variabili indipendenti,
- avendo posto:
dove è il rettangolo circoscritto alla regione limitato dalle rette
Calcolo per integrazioni successive[modifica]
Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .
Significato geometrico[modifica]
Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.
Teorema della media[modifica]
essendo area della regione e dove e sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di in
Se è continua in esendo un punto di
Teorema di Gauss[modifica]
essendo una funzione continua in e il contorno chiuso di
Formula di Green o di Stokes[modifica]
essendo e funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice , il contorno chiuso della regione
Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.
Formula per il cambiamento di variabili[modifica]
Se si pone:
essendo le e continue in una regione del piano e se in si ha la formula :
dove è la regione di corrispondente alla regione di
Se in particolare si pone:
- (trasformazione polare),
e la formula diventa :
Integrale triplo[modifica]
- regione semplice spaziale
- con variabili indipendenti\ ,
dove è il parallelepipedo circoscritto alla regione con le facce parallele ai piani coordinati e
Calcolo per integrazioni successive[modifica]
essendo : e le ascisse dei punti in cui una parallela generica all'asse incontra la superficie limitatrice della regine e sono le di contatto delle tangenti parallele all'asse alla seione della superficie con un piano parallelo al piano per la retta infine le e sono le dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano
Significato fisico[modifica]
rappresenta la massa della regione quando ne rappresenti la densità.
Teorema della media[modifica]
essendo il volume della regione ed avendo il solito significato .
Formula per il cambiamento di variabili[modifica]
Se si pone
essendo le funzioni continue in una regione dello spazio e si ha :
Teorema della divergenza[modifica]
essendo : con componenti di ed un elemento della superficie che chiude