intervallo (a, b) dell'asse x,


essendo
la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.
L'integrale considerato rappresenta:
"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".
Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

essendo
un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).
Se la funzione è continua,
essendo: a<c<b.
essendo:
e
le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).
avendo
lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).
Se si pone:
si ha :
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[\varphi (t)]\varphi '(t)\ dt\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1375720d3fc7b49adf5d904bab3633bd729edd)
quando la funzione
è continua in
e le funzioni
sono continue in
ed inoltre
a) definizioni
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta x_{i}=\int _{\gamma }f(x,y)dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e032e011f5ad88f9c65ed0fbd07b4e528baaff08)
![{\displaystyle \ =\int _{a}^{b}f[(x,\phi (x)]dx=\int _{a}^{b}g(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b40a98e2561efcbb35a74c770770a716915018)
essendo
l'arco
avente per estremi i punti:
![{\displaystyle \ A=[a,\phi (a)];\qquad B=[b,\phi (b)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948a62e0791e52ceb3f2516ca97ffc35b1c3c3d4)
L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.
Se la curva
è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:
![{\displaystyle \int _{\gamma }^{}f(x,y)dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5f73f175a9da0720fef2d933c0ae8c94a6d717)
b) significato geometrico :
rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.
a) definizioni:
con
arco della curva ,
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta s_{i}=\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b335df0f48cb3265590c1823f83de752f1752d15)
![{\displaystyle \ =\int _{a}^{b}f[x,\phi (x)]{\sqrt {1+{\phi }^{'2}(x)}}\ dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9907859629e777a6ef4cd2c52a8b55ddc8b3a14c)
essendo
con
e
Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:
![{\displaystyle \int _{\gamma }{}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f[x(t),y(t)]{\sqrt {x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}}\ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1176e1293afef8d039c1e46cc1efe1e28a5301)
b) significato geometrico:
rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco
e altezza variabile data da:
regione semplice
del piano
limitata da archi:
archi inferiori,
archi superiori,
archi a sinistra,
archi a destra.
con
variabili indipendenti,

- avendo posto:

dove
è il rettangolo circoscritto alla regione
limitato dalle rette

Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .
Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.
essendo
area della regione
e
dove
e
sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di
in
Se
è continua in
esendo
un punto di


essendo
una funzione continua in
e
il contorno chiuso di

essendo
e
funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice
,
il contorno chiuso della regione
Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.
Se si pone:

essendo le
e
continue in una regione
del piano
e se
in
si ha la formula :
![{\displaystyle \int \int _{\Omega }^{}f(x,\ y)dx\ dy=\int \int _{\wedge }^{}f[\psi (u,v),\varphi (u,v)]J{\begin{vmatrix}\psi &\varphi \\u&v\end{vmatrix}}\ du\ dv\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4789d6e0dfea9d3e3d7174d45ce31e0a3da964b0)
dove
è la regione di
corrispondente alla regione
di
Se in particolare si pone:
(trasformazione polare),

e la formula diventa :

regione semplice spaziale 
con
variabili indipendenti\ ,


dove
è il parallelepipedo circoscritto alla regione
con le facce parallele ai piani coordinati e


essendo :
e
le ascisse dei punti
in cui una parallela generica all'asse
incontra la superficie limitatrice della regine
e
sono le
di contatto
delle tangenti parallele all'asse
alla seione della superficie con un piano parallelo al piano
per la retta
infine le
e
sono le
dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano
rappresenta la massa della regione
quando
ne rappresenti la densità.

essendo
il volume della regione
ed avendo
il solito significato .
Se si pone
essendo le
funzioni continue in una regione
dello spazio
e
si ha :

essendo :
con
componenti di
ed
un elemento della superficie
che chiude