intervallo (a, b) dell'asse x,
![{\displaystyle \ f=f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d431b24a2ff209fd569aa17bea5a8f8667497063)
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to \ 0}\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}f(x)dx=\varphi (b)-\varphi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc04765daae9931adf4eff6e774a90742f443120)
essendo
la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.
L'integrale considerato rappresenta:
"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".
Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lambda (b-a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee02b9549893a20df4bb5872072d795f02ba3a7)
essendo
un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).
Se la funzione è continua,
essendo: a<c<b.
essendo:
e
le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).
avendo
lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).
Se si pone:
si ha :
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[\varphi (t)]\varphi '(t)\ dt\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1375720d3fc7b49adf5d904bab3633bd729edd)
quando la funzione
è continua in
e le funzioni
sono continue in
ed inoltre
a) definizioni
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta x_{i}=\int _{\gamma }f(x,y)dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e032e011f5ad88f9c65ed0fbd07b4e528baaff08)
![{\displaystyle \ =\int _{a}^{b}f[(x,\phi (x)]dx=\int _{a}^{b}g(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b40a98e2561efcbb35a74c770770a716915018)
essendo
l'arco
avente per estremi i punti:
![{\displaystyle \ A=[a,\phi (a)];\qquad B=[b,\phi (b)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948a62e0791e52ceb3f2516ca97ffc35b1c3c3d4)
L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.
Se la curva
è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:
![{\displaystyle \int _{\gamma }^{}f(x,y)dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5f73f175a9da0720fef2d933c0ae8c94a6d717)
b) significato geometrico :
rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.
a) definizioni:
con
arco della curva ,
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta s_{i}=\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b335df0f48cb3265590c1823f83de752f1752d15)
![{\displaystyle \ =\int _{a}^{b}f[x,\phi (x)]{\sqrt {1+{\phi }^{'2}(x)}}\ dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9907859629e777a6ef4cd2c52a8b55ddc8b3a14c)
essendo
con
e
Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:
![{\displaystyle \int _{\gamma }{}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f[x(t),y(t)]{\sqrt {x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}}\ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1176e1293afef8d039c1e46cc1efe1e28a5301)
b) significato geometrico:
rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco
e altezza variabile data da:
regione semplice
del piano
limitata da archi:
archi inferiori,
archi superiori,
archi a sinistra,
archi a destra.
con
variabili indipendenti,
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta x{i}\to 0}\sum _{i}f(x_{i},y_{i})\Delta x_{i}\Delta y_{i}=\iint _{R}^{}g(x,y)dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07fc09e96ceb788c6fe2d5b875c9942ae82dfe4)
- avendo posto:
![{\displaystyle {\begin{cases}g(x,y)=f(x,y)\ in\ \Omega ,\\g(x,y)=0\ in\ R\ esternamente\ a\ \Omega \end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc7e1a79cc0f5eaa29a2ff1fdcd270e1efddf5a)
dove
è il rettangolo circoscritto alla regione
limitato dalle rette
![{\displaystyle \iint _{\Omega }^{}f(x,y)\ dx\ dy=\int _{c}^{d}dy\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)\ dx=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\ dy\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040d4307bc40d418892a477b3496140f3ba0a752)
Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .
Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.
essendo
area della regione
e
dove
e
sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di
in
Se
è continua in
esendo
un punto di
![{\displaystyle \iint _{\Omega }^{}{\partial f \over \partial x}dxdy=\oint _{\gamma }^{}f(x,y)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d521da8b3593de6c372a772043df65db742777a)
![{\displaystyle \iint _{\Omega }^{}{\partial f \over \partial y}dxdy=-\oint _{\gamma }^{}f(x,y)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531df9b37615a842823ab7438c7153fadd563b8d)
essendo
una funzione continua in
e
il contorno chiuso di
![{\displaystyle \iint _{\Omega }^{}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})dxdy=\oint _{\lambda }^{}(Adx+Bdy),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01ff220cd7804d0375cbe6a31947340f2939f3c)
essendo
e
funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice
,
il contorno chiuso della regione
Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.
Se si pone:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=\psi (u\ ,v)\\y=\varphi (u\ ,v)\ ,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe816866892480130d734ee79ea0a8fa0a7b70db)
essendo le
e
continue in una regione
del piano
e se
in
si ha la formula :
![{\displaystyle \int \int _{\Omega }^{}f(x,\ y)dx\ dy=\int \int _{\wedge }^{}f[\psi (u,v),\varphi (u,v)]J{\begin{vmatrix}\psi &\varphi \\u&v\end{vmatrix}}\ du\ dv\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4789d6e0dfea9d3e3d7174d45ce31e0a3da964b0)
dove
è la regione di
corrispondente alla regione
di
Se in particolare si pone:
(trasformazione polare),
![{\displaystyle \ J{\begin{pmatrix}\varphi ,&\psi \\\rho ,&\theta \end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-\rho \cos \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{vmatrix}}=\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba86b73fce0ecebb2e56bde483dedfe631bf16e9)
e la formula diventa :
![{\displaystyle \iint _{\Omega }^{}f(x,\ y)\ dx\ dy=\iint _{\wedge }^{}f(\rho \cos \theta ,\ \rho \sin \theta )\ \rho \ d\rho \ d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfcb8004b19e9e417ac757bad3797a788b57ce47)
regione semplice spaziale ![{\displaystyle \ V\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122e56beba5168a15cd250ffb4c24e18e131176f)
con
variabili indipendenti\ ,
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{{{\Delta x_{i}\to 0} \over {\Delta y_{i}\to 0}} \over \Delta x_{i}\to 0}\sum _{i}^{}f(x_{i},\ y_{i},\ z_{i})\Delta x_{i}\Delta y_{i}\Delta z_{i}=\iiint _{V}^{}f(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85869e34059124c582c8d95e2710c78664d17d46)
![{\displaystyle \iiint _{P}^{}g(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b44217f7e69fe7ac49ed007f6bd10bfcd97fe86)
dove
è il parallelepipedo circoscritto alla regione
con le facce parallele ai piani coordinati e
![{\displaystyle \ g(x,\ y,\ z)={\begin{cases}f(x,\ y,\ z)\quad \ in\ V\\0\quad \ in\ P\ fuori\ di\ V.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffa23fc1dc3102f6448d2c38895655c4a70bbda)
![{\displaystyle \iiint _{V}^{}f(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz=\int _{z_{1}}^{z_{2}}dz\int _{y_{1}(z)}^{y_{2}(z)}dy\int _{x_{1}(x,y)}^{x_{2}(y,z)}f(x,\ y,\ z)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df98c887add1ff2d3a610225c1a0e74162b84fc)
essendo :
e
le ascisse dei punti
in cui una parallela generica all'asse
incontra la superficie limitatrice della regine
e
sono le
di contatto
delle tangenti parallele all'asse
alla seione della superficie con un piano parallelo al piano
per la retta
infine le
e
sono le
dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano
rappresenta la massa della regione
quando
ne rappresenti la densità.
![{\displaystyle \int _{}^{}\int _{}^{}\int _{V}^{}F(x,y,z)dx\ dy\ dz=\lambda {\bar {V}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b06319c8d0642c8f0eee597ae39dc29b222bf2)
essendo
il volume della regione
ed avendo
il solito significato .
Se si pone
essendo le
funzioni continue in una regione
dello spazio
e
si ha :
![{\displaystyle \int _{}^{}\int _{}^{}\int _{V}^{}div.\Phi \ d\tau =\iint _{S}^{}\Phi \times dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6a89f297cef8d757de5d8a9b817cc9a100f410)
essendo :
con
componenti di
ed
un elemento della superficie
che chiude