determinata se
indeterminata se
impossibile se
![{\displaystyle \ x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a},\qquad ovvero:\qquad x={-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}} \over a}\qquad (k={b \over 2});}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9a644b8b2ce0875044d13decb5702b0d1831f0)
le due radici sono reali distinte se
le due radici sono reali coincidenti se
le due radici sono complesse coniugate se
a) Ponendo
, l'equazione si trasforma nella seguente trinomia:
![{\displaystyle \ y^{3}+py+y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9784dc04ba8b61cc55b05d7141b0105404e2ed)
da cui
(formula risolutiva Cardanica)
- se
, una radice è reale e due complesse coniugate,
- se
, una radice è reale semplice e una doppia,
- se
, le tre radici sono reali e distinte.
In quest'ultimo caso le tre radici si possono calcolare agevolmente in forma trigonometrica. Ponendo:
![{\displaystyle {-q \over 2}+i{\sqrt[{2}]{-({q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27})}}=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b242289458e954f7ed3b87aaf74522f774df3bf)
![{\displaystyle {-q \over 2}-i{\sqrt[{2}]{-({q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27})}}=\rho (\cos \theta -i\sin \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523490a54b087be06dd6bc088eba4731d8be1293)
dove:
![{\displaystyle \rho ={\sqrt[{2}]{-p^{3} \over 27}}\qquad \cos \theta ={-q \over 2\rho }\qquad \theta =arc\cos({-q \over 2\rho })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cca823161bc69d47775496f8f14dd5adb383cd)
si ha allora:
![{\displaystyle \alpha _{1}={\sqrt[{3}]{\rho }}(\cos {\theta \over 3}+i\sin {\theta \over 3}),\qquad \beta _{1}={\sqrt[{3}]{\rho }}(\cos {\theta \over 3}-i\sin {\theta \over 3});}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490749df2a682daf674ddb4697ed87b0f0884252)
![{\displaystyle \alpha _{2}={\sqrt[{3}]{\rho }}(\cos {\theta +2\pi \over 3}+i\sin {\theta +2\pi \over 3}),\qquad z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9ca39c315b71d9f9ee238b12e65652086b53ae)
b) Si può determinare per tentativi o con approssimazioni successive il valore di una radice servendosi dell'osservazione:
se
![{\displaystyle \ f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0472a92bf550a2c0cfa9fdeede6a5b99387d1be)
e
fra
e
cade almeno una radice. Nota una radice
le altre si ottengono uguagliando a
la frazione
, che è di 2° grado in
.
In particolare le equazioni reciproche:
![{\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}\pm bx\pm a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae66d4a73e511b37a583690b9380051c98783535)
ammettono la radice
le altre due radici si ottengono risolvendol'equazione:
![{\displaystyle \ ax^{2}+(b\mp a)x+a=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751055dd7a6a964f444c7894c8110afdce01e7dd)
c) L'equazione
alla quale può sempre ridursi un'equazione completa di 3° grado, si può infine risolvere graficamente coi metodi della Geometria Analitica: se si pone
![{\displaystyle \ y=x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba304fefc759681023950f7aba56cf2371c9734)
le radici cercate sranno le ascisse dei punti comuni alla parabola cubica:
ed alla retta:
.
Ponendo
l'equazione si trasforma nella seguente
![{\displaystyle \ y^{4}+px^{2}+qy+r=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b5621b712a262e6e17e731bca4ce9e9a9752dc)
Se
essa è biquadratica e si risolve con la posizione:
Se
ponendo:
trisultano radici dell'equazione cubica:
![{\displaystyle \ z^{3}+{p \over 2}z^{2}+({p^{2} \over 16}-{r \over 4})z-{q^{2} \over 64}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63da0eb55557953a3d81b08f08ec72835fa77f36)
Se
sono le radici di questa equazione, si ha:
![{\displaystyle \ u=\pm {\sqrt[{2}]{\gamma }};\qquad v=\pm {\sqrt[{2}]{\mu }};\qquad w=\pm {\sqrt[{2}]{\nu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade18f87d86686b3746268cadb1260427d33977c)
Si sceglieranno poi tre fra i valori di
in modo che si abbia:
![{\displaystyle uvw=-{q \over 8},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8afdab5733e63ccdd2047fad00560bc45dd161)
e se
sono tali valori, le quattro
radici dell'equazione sono date dalle espressioni:
![{\displaystyle \ y_{1}={\sqrt[{2}]{\gamma }}+{\sqrt[{2}]{\mu }}+{\sqrt[{2}]{\nu }},\qquad y_{2}={\sqrt[{2}]{\gamma }}-{\sqrt[{2}]{\mu }}-{\sqrt[{2}]{\nu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1794b4029565a3877016d830bcd773f707101af3)
![{\displaystyle \ y_{3}=-{\sqrt[{2}]{\gamma }}+{\sqrt[{2}]{\mu }}-{\sqrt[{2}]{\nu }},\qquad y_{4}=-{\sqrt[{2}]{\gamma }}-{\sqrt[{2}]{\mu }}+{\sqrt[{2}]{\nu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3568a1dd29ea417f51b3083c5e44a35cc1aa0ecc)
L'equazione può avere 4 radici reali; 2 reali e 2 immaginarie; 4 immaginarie; i tre casi dipendono dalla natura delle radici dell'equazione cubica in
Sono le equazioni del tipo:
![{\displaystyle {P(x) \over Q(x)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b621289b98e85b09aedf3653f1b4c22f8410a6fb)
essendo P eQ polinomi in x. Si riducono intere, moltiplicando i due membri per Q(x).
Sono importanti i seguenti principi:
- se si moltiplicano primo e secondo membro di un'equazione A=B per una funzione intera M dell'incognita o delle incognite, l'equazione MA=MB ha certamente per soluzione tutte le soluzioni dell'equazione A=B ma può averne anche altre e precisamente quella della M=0;
- se P(x) e Q(x) sono polinomi in x primi fra loro, le equazioni
![{\displaystyle {P(x) \over Q(x)}=0\quad e\quad P(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b0e61001e73c1242ba4d6b0d1f620e2c225488)
sono equivalenti.
L'equazione:
, essendo f e φ simboli di funzioni razionali, si rende razionale isolando la parte irrazionale ed elevando i due membri ad n. Se nell'equazione figurano più radicali occorre in generale elevare più volte all'indice n e spesso usare artifici. L'equazione razionale che si ottiene non è in generale equivalente alla data.
a) Esponenziale monomia:
essendo
una funzione algebrica. Essa si trasforma nell'equazione algebrica:
![{\displaystyle \ f(x)=log_{b}\ a={Log\ a \over Log\ b}={log\ a \over log\ b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c0e74f7a2b6c801b94cba0a282659fab329486)
b) Esponenziale trinomia:
Ponendo:
da cui
essa diventa algebrica di 2° grado in
c) Logaritmica:
.
Se
e
sono funzioni algebriche, esse si trasformano nelle equazioni algebriche:
![{\displaystyle \ f(x)\phi (x)=b^{a}\qquad {f(x) \over \phi (x)}=b^{a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f8882a60bf3fd2f198b7d1ff6aa0e92ea159f2)
d) Trigonometrica lineare in
![{\displaystyle \ a\sin x+b\cos x=c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d21c080955a40a5188b9655daa39151885b778)
con la trasformazione:
l'equazione diventa algebrica in
e) Trigonometrica omogenea di 2° in
![{\displaystyle \ a\sin ^{2}x+b\sin x\cos x+c\cos ^{2}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9968c41c01f33a216a59b98ba6cbcf5d87abbde1)
Dividendo per
l'equazione diventa algebrica in
a questo tipo di equazione può pure ridursi l'equazione:
![{\displaystyle \ a\sin ^{2}x+b\sin x\cos x+c\cos ^{2}x=d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbee9ca9da3281f090d8500c7bddcfd59d5b136d)
ponendo:
f) Trigonometrica razionale intera in
Si riduce algebrica razionale intera in
ponendo:
![{\displaystyle \ \cot x={1 \over \tan x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41abc430aad80ab4937aa0c22a1f44afc32fdad6)