Analisi matematica/Equazioni a coefficienti reali

Algebriche razionali intere

Algebriche razionali intere di 1° grado

$ax+b=0\ ;\qquad x=-{b \over a}\ ;$

determinata se $\ a\neq 0;$ indeterminata se $\ a=b=0;$ impossibile se $\ a=0,\ b\neq 0.$

Algebriche razionali intere di 2° grado

$ax^{2}+bx+c=0;$

$\ x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a},\qquad ovvero:\qquad x={-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}} \over a}\qquad (k={b \over 2});$

le due radici sono reali distinte se $\ b^{2}-4ac>0,$

le due radici sono reali coincidenti se $\ b^{2}-4ac=0,$

le due radici sono complesse coniugate se $\ b^{2}-4ac<0.$

Algebriche razionali intere di 3° grado

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

a) Ponendo $\ x=y-{b \over 3a}$, l'equazione si trasforma nella seguente trinomia:

$\ y^{3}+py+y=0$

da cui $:\qquad y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$

(formula risolutiva Cardanica)

se ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}>0$, una radice è reale e due complesse coniugate,

se ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=0$, una radice è reale semplice e una doppia,

se ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$, le tre radici sono reali e distinte.

In quest'ultimo caso le tre radici si possono calcolare agevolmente in forma trigonometrica. Ponendo:

${-q \over 2}+i{\sqrt[{2}]{-({q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27})}}=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$

${-q \over 2}-i{\sqrt[{2}]{-({q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27})}}=\rho (\cos \theta -i\sin \theta )$

dove:

$\rho ={\sqrt[{2}]{-p^{3} \over 27}}\qquad \cos \theta ={-q \over 2\rho }\qquad \theta =arc\cos({-q \over 2\rho })$

si ha allora:

$\alpha _{1}={\sqrt[{3}]{\rho }}(\cos {\theta \over 3}+i\sin {\theta \over 3}),\qquad \beta _{1}={\sqrt[{3}]{\rho }}(\cos {\theta \over 3}-i\sin {\theta \over 3});$

$\alpha _{2}={\sqrt[{3}]{\rho }}(\cos {\theta +2\pi \over 3}+i\sin {\theta +2\pi \over 3}),\qquad z)$

b) Si può determinare per tentativi o con approssimazioni successive il valore di una radice servendosi dell'osservazione:

se

$\ f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

e $\ f(a)=k^{2},$ $\ f(b)=-h^{2},$ fra $\ a$ e $\ b$ cade almeno una radice. Nota una radice $\ m$ le altre si ottengono uguagliando a $\ 0$ la frazione ${\frac {f(x)}{x-m}}$, che è di 2° grado in $\ x$.

In particolare le equazioni reciproche:

$\ ax^{3}+bx^{2}\pm bx\pm a=0$

ammettono la radice $\ x=\mp 1;$ le altre due radici si ottengono risolvendol'equazione:

$\ ax^{2}+(b\mp a)x+a=0.$

c) L'equazione $\ x^{3}+px+q=0$ alla quale può sempre ridursi un'equazione completa di 3° grado, si può infine risolvere graficamente coi metodi della Geometria Analitica: se si pone

$\ y=x^{3}$

le radici cercate sranno le ascisse dei punti comuni alla parabola cubica: $\ y=x^{3}$ ed alla retta: $\ y+px+q=0.$.

Algebriche razionali intere di 4° grado

$\ ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+c=0.$

Ponendo $\ x=y-{b \over 4a}$ l'equazione si trasforma nella seguente

$\ y^{4}+px^{2}+qy+r=0.$

Se $\ q=0,$ essa è biquadratica e si risolve con la posizione: $\ y^{2}=z.$

Se $\ q\neq 0,$ ponendo: $\ y=u+v+w,$ $\ u^{2},v^{2},w^{2}$ trisultano radici dell'equazione cubica:

$\ z^{3}+{p \over 2}z^{2}+({p^{2} \over 16}-{r \over 4})z-{q^{2} \over 64}=0.$

Se $\ \gamma ,\mu ,\ni$ sono le radici di questa equazione, si ha:

$\ u=\pm {\sqrt[{2}]{\gamma }};\qquad v=\pm {\sqrt[{2}]{\mu }};\qquad w=\pm {\sqrt[{2}]{\nu }}.$

Si sceglieranno poi tre fra i valori di $\ u,v,w$ in modo che si abbia:

$uvw=-{q \over 8},$

e se $\ {\sqrt[{2}]{\gamma }},{\sqrt[{2}]{\mu }},{\sqrt[{2}]{nu}}$ sono tali valori, le quattro radici dell'equazione sono date dalle espressioni:

$\ y_{1}={\sqrt[{2}]{\gamma }}+{\sqrt[{2}]{\mu }}+{\sqrt[{2}]{\nu }},\qquad y_{2}={\sqrt[{2}]{\gamma }}-{\sqrt[{2}]{\mu }}-{\sqrt[{2}]{\nu }},$

$\ y_{3}=-{\sqrt[{2}]{\gamma }}+{\sqrt[{2}]{\mu }}-{\sqrt[{2}]{\nu }},\qquad y_{4}=-{\sqrt[{2}]{\gamma }}-{\sqrt[{2}]{\mu }}+{\sqrt[{2}]{\nu }}.$

L'equazione può avere 4 radici reali; 2 reali e 2 immaginarie; 4 immaginarie; i tre casi dipendono dalla natura delle radici dell'equazione cubica in $\ z.$

Algebriche razionali fratte

Sono le equazioni del tipo:

${P(x) \over Q(x)}=0$

essendo P eQ polinomi in x. Si riducono intere, moltiplicando i due membri per Q(x).

Sono importanti i seguenti principi:

1. se si moltiplicano primo e secondo membro di un'equazione A=B per una funzione intera M dell'incognita o delle incognite, l'equazione MA=MB ha certamente per soluzione tutte le soluzioni dell'equazione A=B ma può averne anche altre e precisamente quella della M=0;
2. se P(x) e Q(x) sono polinomi in x primi fra loro, le equazioni

${P(x) \over Q(x)}=0\quad e\quad P(x)=0$

sono equivalenti.

Algebriche irrazionali

L'equazione: $\ f(x,{\sqrt[{n}]{\phi (x)}})=0$, essendo f e φ simboli di funzioni razionali, si rende razionale isolando la parte irrazionale ed elevando i due membri ad n. Se nell'equazione figurano più radicali occorre in generale elevare più volte all'indice n e spesso usare artifici. L'equazione razionale che si ottiene non è in generale equivalente alla data.

Equazioni trascendenti notevoli

a) Esponenziale monomia: $\ b^{f(x)}=a,$ essendo $\ f(x)$una funzione algebrica. Essa si trasforma nell'equazione algebrica:

$\ f(x)=log_{b}\ a={Log\ a \over Log\ b}={log\ a \over log\ b}$

b) Esponenziale trinomia: $\ ak^{2x}+bk^{x}+c=0.$

Ponendo: $\ y=k^{x},$ da cui $\ x=\log _{k}y,$ essa diventa algebrica di 2° grado in $\ y.$

c) Logaritmica: $\log _{b}f(x)\pm \log _{b}\phi (x)=a$.

Se $\ f(x)$ e $\ \phi (x)$ sono funzioni algebriche, esse si trasformano nelle equazioni algebriche:

$\ f(x)\phi (x)=b^{a}\qquad {f(x) \over \phi (x)}=b^{a}.$

d) Trigonometrica lineare in $\ \sin x,\cos x:$

$\ a\sin x+b\cos x=c.$

con la trasformazione: $\sin x={2\tan {x \over 2} \over 1+\tan ^{2}{x \over 2}},\qquad \cos x={1-\tan ^{2}{x \over 2} \over 1+\tan ^{2}{x \over 2}}$

l'equazione diventa algebrica in $\tan {x \over 2}.$

e) Trigonometrica omogenea di 2° in $\ \sin x,\cos x:$

$\ a\sin ^{2}x+b\sin x\cos x+c\cos ^{2}x=0$

Dividendo per $\ \cos ^{2}x,$ l'equazione diventa algebrica in $\ \tan x;$ a questo tipo di equazione può pure ridursi l'equazione:

$\ a\sin ^{2}x+b\sin x\cos x+c\cos ^{2}x=d,$

ponendo: $\ d=d(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x).$

f) Trigonometrica razionale intera in $\ \tan x,\cot x:$ $\ f(\tan x,\cot x)=0.$

Si riduce algebrica razionale intera in $\ \tan x$ ponendo:

$\ \cot x={1 \over \tan x}.$