Analisi matematica/Equazioni a coefficienti reali

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algebriche razionali intere[modifica]

[1] di 1° grado

determinata se indeterminata se impossibile se

[2] di 2° grado

le due radici sono reali distinte se

le due radici sono reali coincidenti se

le due radici sono complesse coniugate se

[3] di 3° grado

a) Ponendo , l'equazione si trasforma nella seguente trinomia:

da cui

(formula risolutiva Cardanica)

se , una radice è reale e due complesse coniugate,
se , una radice è reale semplice e una doppia,
se , le tre radici sono reali e distinte.

In quest'ultimo caso le tre radici si possono calcolare agevolmente in forma trigonometrica. Ponendo:

dove:

si ha allora:

b) Si può determinare per tentativi o con approssimazioni successive il valore di una radice servendosi dell'osservazione:

se

e fra e cade almeno una radice. Nota una radice le altre si ottengono uguagliando a la frazione , che è di 2° grado in .

In particolare le equazioni reciproche:

ammettono la radice le altre due radici si ottengono risolvendol'equazione:

c) L'equazione alla quale può sempre ridursi un'equazione completa di 3° grado, si può in fine risolvere graficamente coi metodi della Geometria Analitica: se si pone

le radici cercate sranno le ascisse dei punti comuni alla parabola cubica: ed alla retta: .

[4] di 4° grado:

Ponendo l'equazione si trasforma nella seguente

Se essa è biquadratica e si risolve con la posizione:

Se ponendo: trisultano radici dell'equazione cubica:

Se sono le radici di questa equazione, si ha:

Si sceglieranno poi tre fra i valori di in modo che si abbia:

e se sono tali valori, le quattro radici dell'equazione sono date dalle espressioni:

L'equazione può avere 4 radici reali; 2 reali e 2 immaginarie; 4 immaginarie; i tre casi dipendono dalla natura delle radici dell'equazione cubica in

[5 ]

algebriche razionali fratte[modifica]

Sono le equazioni del tipo:

essendo P eQ polinomi in x. Si riducono intere, moltiplicando i due membri per Q(x).

Sono importanti i seguenti principi:

  1. se si moltiplicano primo e secondo membro di un'equazione A=B per una funzione intera M dell'incognita o delle incognite, l'equazione MA=MB ha certamente per soluzione tutte le soluzioni dell'equazione A=B ma può averne anche altre e precisamente quella della M=0;
  2. se P(x) e Q(x) sono polinomi in x primi fra loro, le equazioni

sono equivalenti.

algebriche irrazionali[modifica]

L'equazione: , essendo f e φ simboli di funzioni razionali, si rende razionale isolando la parte irrazionale ed elevando i due membri ad n. Se nell'equazione figurano più radicali occorre in generale elevare più volte all'indice n e spesso usare artifici. L'equazione razionale che si ottiene non è in generale equivalente alla data.

equazioni trascendenti notevoli[modifica]

a) Esponenziale monomia: essendo una funzione algebrica. Essa si trasforma nell'equazione algebrica:

b) Esponenziale trinomia:

Ponendo: da cui essa diventa algebrica di 2° grado in

c) Logaritmica: .

Se e sono funzioni algebriche, esse si trasformano nelle equazioni algebriche:

d) Trigonometrica lineare in

con la trasformazione:

l'equazione diventa algebrica in

e) Trigonometrica omogenea di 2° in

Dividendo per l'equazione diventa algebrica in a questo tipo di equazione può pure ridursi l'equazione:

ponendo:

f) Trigonometrica razionale intera in

Si riduce algebrica razionale intera in ponendo: