Analisi matematica/Integrali dipendenti

Integrali definiti dipendenti da un parametro

1) con limiti fissi:

$a):\qquad \ F(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\ dy;\qquad b):\qquad \Phi (y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\ dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un rettangolo $\ R$ definito dalle limitazioni: $a\leq x\leq b$, $c\leq y\leq d$, anche le funzioni $\ F(x)$ e $\ \Phi (y)$ sono continue e derivabili rispettivamente in $\ (c,d)$ e $\ (a,b)$ e si ha:

$\ {dF(x) \over dx}=\int _{c}^{d}{\partial f \over \partial x}dy;\qquad {d\Phi (y) \over dy}=\int _{a}^{b}{\partial f \over \partial y}dx;$

[regola di derivazione sotto il segno].

2) con limiti variabili:

$a)\qquad F(x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy;\qquad b)\qquad \Phi (y)=\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un'area semplice $\ \Omega$ tangente al rettangolo definito dalle limitazioni: $a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d,$ e se le funzioni $\ \alpha (x),\ \beta (x)$ sono continue e derivabili in $\ (a,b),$ e le funzioni $\ \gamma (y),\ \delta (y)$ sono continue e derivabili in $\ (c,d),$ le funzioni: $\ F(x)$ e $\ \Phi (x)$ sono rispettivamente continue e derivabili in $\ (a,b)$ e $\ (c,d).$ Si ha inoltre:

${dF(x) \over dx}=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\partial f \over \partial x}dy-{d\alpha \over dx}f[x,\alpha (x)]+{d\beta \over dx}f[x,\beta (x)],$

${d\Phi (y) \over dy}=\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}{\partial f \over \partial y}dx-{d\gamma \over dy}f[\gamma (y),y]+{d\delta \over dy}f[\delta (y),y].$