funzione data |
integrale |
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integrale
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![{\displaystyle {\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7b1c758940d2d28e8a21110dd2b074fb90818f) |
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99) |
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- quando
cioè
e
hanno lo stesso segno.
se ![{\displaystyle {\begin{cases}a>0\\c^{2}=\mid {b \over a}\mid \end{cases}}={1 \over {\sqrt[{2}]{a}}}\log(x+{\sqrt[{2}]{x^{2}\pm c^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7830ed1fb2b9f0155a74b2199bdcaeabc3a784)
se ![{\displaystyle {\begin{cases}a<0\\c^{2}=|{b \over a}|\end{cases}},={1 \over {\sqrt[{2}]{|a|}}}\int {d({x \over c}) \over {\sqrt[{2}]{1-({x \over c})^{2}}}}={1 \over {\sqrt[{2}]{|a|}}}\arcsin {x \over c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdd46a071af09e0a9a601c92bf4314b221adf6b)
se si integra per parti, ponendo
, allora si ha:
![{\displaystyle \int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx=x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}-\int {ax^{2}dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d80a74e259bd8f8b33008b8a0ada1a2988e31da)
![{\displaystyle =x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}-\int {{ax^{2}+b \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}dx}+b\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043cb60f922a0437a4685c5ff09c61324a9f8bb6)
![{\displaystyle =x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}-\int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx}+b\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd34ff6505b708ca96c7cbdb61b6c3e4fef7938)
- quindi,risolvendo rispetto a
si ha:
![{\displaystyle \int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx}={x \over 2}{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}+{b \over 2}\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2789f1316a09741bb9325f9f9ec0a47db6f6414)
- si è così ricondotti all'integrale 6 o 7:
- si è così ricondotti all'integrale 8.
- a) funzione razionale intera (polinomio)

- b) funzione razionale fratta

Si suppone
di grado inferiore a
altrimenti si farebbe la divisione di
per
e si avrebbe:
dove
è un polinomio e
una frazione propria: Ora se il denominatore è tale che:
![{\displaystyle \ B(x)=(x-\alpha )(x-\beta )^{r}[(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}][(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634d6dcae4f9b26e7678c73c2d60d2d41146bc9d)
essendo:
una radice reale semplice,
una radice reale multipla,
due radici complesse semplici,
due radici complesse multiple,
dell'equazione:
, la frazione data si decompone nel seguente modo:
![{\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {d_{r}}{(x-\beta )^{r}}}+{\frac {d_{r-1}}{(x-\beta )^{r-1}}}+....+{\frac {d_{1}}{x-\beta }}+{\frac {m_{1}x+n_{1}}{(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}}}+{\frac {p_{s}x+q_{s}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ae7749d4d6b7119dd80b82b32a5045a7e73e5a)
![{\displaystyle +{\frac {p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-1}}}+....+{\frac {p_{1}x+q_{1}}{(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bd41bce9e7b40ebf8ea3cd3e3864ec2e439eb9)
dove le costanti
, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della
dei due membri. L'integrazione della frazione
è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati
- c formule risolutive notevoli

- dove



- dove

- Per determinare le costanti
si possono derivare i due membri delle formule precedenti, ridurre a forma intera i risultati e confrontare i numeratori per dedurre un sistema da risolvere rispetto alle costanti stesse.
con
simbolo di funzione razionale.
Ponendo:
dove
da cui:
, l'integrale diventa:

con:
e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.
- esempio
Ponendo
si ha:

Posto
onde
si ha:
![{\displaystyle \ \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=\int _{}{}{1 \over t-1}3\ t^{2}dt=3\int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699daf7f99fb58997040421bfe6d768012c62db4)
Ora,
quindi

allora, per
![{\displaystyle \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=3[{\sqrt[{3}]{x}}+{1 \over 2}{\sqrt[{3}]{x}}^{2}+\log({\sqrt[{3}]{x}}-1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caeb95f6d50d80d18192aa130538e3e5d8f9c0cc)
con F simbolo di funzione razionale.
- Se
, si pone:
da cui:


- Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.
- esempio

- Poniamo:
da cui


- allora, a meno di una costante:

- si ha quindi:

- Se
si pone invece:
essendo
una radice reale dell'equazione:
[Se le radici non fossereo reali, essendo
sarebbe immaginario]. Si ha quindi:
- da cui

Sostituendo tutto in funzione di
l'integrale è ridotto a un integrale di funzione razinale di 
(integrale di un differenziale binomio) con m, n, p, numeri razionali:
è intero
- Si sviluppa
con la regola del Binomio di Newton, si moltiplica il risultato per
e si decompone l'integrale in tanti integrali del tipo : 
è intero.
- Si pone
da cui: 
è intero.
formule risolutive notevoli:
dove :

- dove:

- dove:
è un polinomio di grado
e
è l'integrale quasi immediato n°1, quindi:
se : 
se : 
se : 
- dove
è l'ntegrale 2 e le costanti
si possono determinare derivando i due membri e confrontando poi i risultati ottenuti.
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone:
da cui:
Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.
- esempio

Ricordato che

si porrà:
da cui
allora:
con che la funzione da integrare è una funzione algebrica razionale.
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone:
, da cui
e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.
- esempio

con F simbolo di funzione razionale.
Si pone :
da cui
e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.
- esempio

Posto
da cui
si ha:
e

Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.
, con F simbolo di funzione razionale.
- si pone:
onde:
- esempio

- Si pone
da cui:
e 
- Allora:

- Sostituendo i ha:

- Si pone:
ovvero
da cui:

- Allora:
- ovvero

- esempio
con
simbolo di funzione razionale.
- Si pone:
ovvero
onde:

Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo
ovvero
, si ha:


con F simbolo di funzione algebrca razionale.
formule notevoli di riduzione:
Mediante integrazione per parti si trovano facilmente le seguenti formule:

quando sia: 

![{\displaystyle \int {x^{m}[\log x]^{n}dx}={x^{m+1}[\log x]^{n} \over m+1}-{n \over m+1}\int {x^{m}[logx]^{n-1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72073ec3b5a2120a3b288651b4fe7c5138fe77d6)
![{\displaystyle \int {x^{m}\log[x+{\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}]}dx={x^{m+1}\log[x+{\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}] \over m+1}-{1 \over m+1}\int {x^{m+1}dx \over {\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fa2ab7d03f7401f0541329e0fd7635782709e6)
formule risolutive notevoli.
Se
è un intero positivo, si ha:




