Analisi matematica/Formule risolutive degli integrali

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Integrali immediati[modifica]

funzione data integrale funzione data integrale

Integrali quasi immediati[modifica]

  1. quando cioè e hanno lo stesso segno.
  2. se
  3. se
  4. se si integra per parti, ponendo , allora si ha:
    quindi,risolvendo rispetto a si ha:
    si è così ricondotti all'integrale 6 o 7:
  5. si è così ricondotti all'integrale 8.

Integrali non immediati da calcolare con particolari decomposizioni o sostituzioni[modifica]

Funzioni razionali[modifica]

a) funzione razionale intera (polinomio)


b) funzione razionale fratta

Si suppone di grado inferiore a altrimenti si farebbe la divisione di per e si avrebbe: dove è un polinomio e una frazione propria: Ora se il denominatore è tale che:

essendo: una radice reale semplice,

una radice reale multipla,
due radici complesse semplici,
due radici complesse multiple,

dell'equazione: , la frazione data si decompone nel seguente modo:

dove le costanti , si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della dei due membri. L'integrazione della frazione è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati

c formule risolutive notevoli
  1. dove
  2. dove
    Per determinare le costanti si possono derivare i due membri delle formule precedenti, ridurre a forma intera i risultati e confrontare i numeratori per dedurre un sistema da risolvere rispetto alle costanti stesse.

Funzioni irrazionali[modifica]

con simbolo di funzione razionale.

Ponendo: dove da cui: , l'integrale diventa:

con:

e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.

esempio

Ponendo si ha:

Posto onde si ha:

Ora, quindi

allora, per

con F simbolo di funzione razionale.

  1. Se , si pone: da cui:
    Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.
    esempio
    Poniamo: da cui
    allora, a meno di una costante:
    si ha quindi:
  2. Se si pone invece: essendo una radice reale dell'equazione: [Se le radici non fossereo reali, essendo sarebbe immaginario]. Si ha quindi:
    da cui
    Sostituendo tutto in funzione di l'integrale è ridotto a un integrale di funzione razinale di

(integrale di un differenziale binomio) con m, n, p, numeri razionali:

  1. è intero
    Si sviluppa con la regola del Binomio di Newton, si moltiplica il risultato per e si decompone l'integrale in tanti integrali del tipo :
  2. è intero.
    Si pone da cui:
  3. è intero.

formule risolutive notevoli:

  1. dove :
  2. dove:
  3. dove: è un polinomio di grado e è l'integrale quasi immediato n°1, quindi:
    se :
    se :
    se :
  4. dove è l'ntegrale 2 e le costanti si possono determinare derivando i due membri e confrontando poi i risultati ottenuti.

Funzioni trascendenti[modifica]

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: da cui:

Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.

esempio

Ricordato che

si porrà: da cui

allora:

con che la funzione da integrare è una funzione algebrica razionale.

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: , da cui e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.

esempio

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone : da cui e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.

esempio

Posto da cui si ha:

e

Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.

  1. , con F simbolo di funzione razionale.
    si pone: onde:
    esempio
    Si pone da cui: e
    Allora:
    Sostituendo i ha:
  2. Si pone: ovvero da cui:
    Allora:
    ovvero
    esempio
  3. con simbolo di funzione razionale.
    Si pone: ovvero onde:

Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo ovvero , si ha:

con F simbolo di funzione algebrca razionale.

formule notevoli di riduzione:

Mediante integrazione per parti si trovano facilmente le seguenti formule:

  1. quando sia:

formule risolutive notevoli.

Se è un intero positivo, si ha: