funzione data |
integrale |
funzione data |
integrale
|
![{\displaystyle \ x^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c3250c3c453f43246477fc5bd3c34a6409cf2) |
![{\displaystyle {\frac {x^{m+1}}{m+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38249fbc213235bafb744d8e62b41dd9e303667) |
![{\displaystyle \ cos^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2fdda65ea482d32fe684f2baefb532d7ec156f) |
|
![{\displaystyle \ a^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89ec5bfb055f231a55161e75570d242ae7d6c28) |
![{\displaystyle {\frac {a^{x}}{ln{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2e653315658a278d047cee15c2823d65ae9a3e) |
![{\displaystyle \ -cosc^{2}\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c793bceaddcecfbf1cfe981cc6abb6aa3c13dc9) |
|
![{\displaystyle \ e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92048c7dcca1097527e9189031b4cc9402115043) |
![{\displaystyle \ e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92048c7dcca1097527e9189031b4cc9402115043) |
![{\displaystyle \ sen^{2}\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d8e4562c7ca99ed3df9b80eafdef297d340954) |
|
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f89eaf83a3811c69adb4bf1119bafd661a4c08) |
![{\displaystyle \ ln|x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e42ae77dab815c704c408e9a467b8b079adb500) |
![{\displaystyle -\ cosen^{2}\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e147791d3bd2ce6eb9eb001abdbf638d59def1) |
|
![{\displaystyle \ sinx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c655c03d001fa7ec9a7879d0899ee60b3a5321b8) |
![{\displaystyle \ -cosx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1172b6275e5da6c17c3cf867affe2dcfa0d93bd) |
![{\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879fab9b721071157cf2a705660f2af7a68548b4) |
|
![{\displaystyle \ cosx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e2158ea995480b2e6d9b5a5cd96179eeb80618) |
![{\displaystyle \ senx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffce09af2ed5614860d2c856c020fb2bef5aabe) |
![{\displaystyle -{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f48dbee13a3e77e4d43e3a220cb6ff4bda0d969) |
|
![{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa0b6271943853896ad86fe890f7203f887531d) |
![{\displaystyle {\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62b24be305beff66cba9bfbcc01a362ba390f44) |
![{\displaystyle \ {1 \over 1+x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe84821bc9debf557c5bc80bf372ccdd91a897b) |
|
![{\displaystyle {\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7b1c758940d2d28e8a21110dd2b074fb90818f) |
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99) |
![{\displaystyle -{1 \over 1+x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31502dbb7db5765110885850c58fd73d96956ec6) |
|
![{\displaystyle \ {1 \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ebf3a880e2de7fb36d3c8e366ea2d868a6ec7b) |
![{\displaystyle \ arc\ sen\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03073986c34f04eaa51a1e573a79ecc717bee02e) |
![{\displaystyle \ -{1 \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1d66db280e252fd1befbd3d1afd4fa50979e02) |
|
![{\displaystyle \ \int _{}{(ax+b)^{n}}dx={\frac {1}{a}}\ \int _{}(ax+b)^{n}d(ax+b)={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3605afba688983a203bbe3790bb9a56872d254)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {dx}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {d(ax+b)}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\log(ax+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43aad071711fd41c369ffcb77b844aedf7a12a7f)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {dx}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {d(ax+b)}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a(1-n)(ax+b)^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87aeb52550862cf667f17d34bf17e562a555703)
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {xdx}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\ \int _{}{\frac {d(ax^{2}+b)}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\log(ax^{2}+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48984dbdf7015dbb71f75bef30469ef1cf52d941)
- quando
cioè
e
hanno lo stesso segno.
se ![{\displaystyle {\begin{cases}a>0\\c^{2}=\mid {b \over a}\mid \end{cases}}={1 \over {\sqrt[{2}]{a}}}\log(x+{\sqrt[{2}]{x^{2}\pm c^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7830ed1fb2b9f0155a74b2199bdcaeabc3a784)
se ![{\displaystyle {\begin{cases}a<0\\c^{2}=|{b \over a}|\end{cases}},={1 \over {\sqrt[{2}]{|a|}}}\int {d({x \over c}) \over {\sqrt[{2}]{1-({x \over c})^{2}}}}={1 \over {\sqrt[{2}]{|a|}}}\arcsin {x \over c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdd46a071af09e0a9a601c92bf4314b221adf6b)
se si integra per parti, ponendo
, allora si ha:
![{\displaystyle \int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx=x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}-\int {ax^{2}dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d80a74e259bd8f8b33008b8a0ada1a2988e31da)
![{\displaystyle =x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}-\int {{ax^{2}+b \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}dx}+b\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043cb60f922a0437a4685c5ff09c61324a9f8bb6)
![{\displaystyle =x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}-\int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx}+b\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd34ff6505b708ca96c7cbdb61b6c3e4fef7938)
- quindi,risolvendo rispetto a
si ha:
![{\displaystyle \int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx}={x \over 2}{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}+{b \over 2}\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2789f1316a09741bb9325f9f9ec0a47db6f6414)
- si è così ricondotti all'integrale 6 o 7:
- si è così ricondotti all'integrale 8.
- a) funzione razionale intera (polinomio)
![{\displaystyle \ \int _{}(a_{o}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_{n})dx=a_{o}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+....+a_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195956af552dc41f80c8c0e6fd3edc499ff63de9)
- b) funzione razionale fratta
![{\displaystyle \ :\qquad {A(x) \over B(x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac909c9449b3e98fc69dc234d239799c50a624f)
Si suppone
di grado inferiore a
altrimenti si farebbe la divisione di
per
e si avrebbe:
dove
è un polinomio e
una frazione propria: Ora se il denominatore è tale che:
![{\displaystyle \ B(x)=(x-\alpha )(x-\beta )^{r}[(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}][(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634d6dcae4f9b26e7678c73c2d60d2d41146bc9d)
essendo:
una radice reale semplice,
una radice reale multipla,
due radici complesse semplici,
due radici complesse multiple,
dell'equazione:
, la frazione data si decompone nel seguente modo:
![{\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {d_{r}}{(x-\beta )^{r}}}+{\frac {d_{r-1}}{(x-\beta )^{r-1}}}+....+{\frac {d_{1}}{x-\beta }}+{\frac {m_{1}x+n_{1}}{(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}}}+{\frac {p_{s}x+q_{s}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ae7749d4d6b7119dd80b82b32a5045a7e73e5a)
![{\displaystyle +{\frac {p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-1}}}+....+{\frac {p_{1}x+q_{1}}{(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bd41bce9e7b40ebf8ea3cd3e3864ec2e439eb9)
dove le costanti
, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della
dei due membri. L'integrazione della frazione
è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati
- c formule risolutive notevoli
![{\displaystyle \ \int _{}{\frac {A(x)dx}{(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})....(x-\alpha _{n})}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d0dc5532097844621cf3cad086ff3fed4c259d)
- dove
![{\displaystyle \ I_{o}(x)=\ \int _{}{\frac {dx}{ax^{2}+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e1aa96a0340aa2b32c2efbf16d97ff6c29d9e5)
![{\displaystyle \ \int _{}^{}{A(x)\ dx \over (ax+b)^{n}}={\sum _{i=1}^{n-1}c_{i}\ x^{i-1} \over (ax+b)^{n-1}}+c_{n}\log(ax+b)\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b75141c7a7e994944f645baa231a290d1fd98d)
![{\displaystyle \ \int _{}^{}{A(x) \over (x^{2}+b)^{n}}\ dx={\sum _{i=1}^{2n-2}c_{i}\ x^{i-1} \over (ax^{2}+b)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^{2}+b)+c_{2n}\ I_{0}(x)\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f042b7e6c11d7c6736b7b4080382fd20099b193d)
- dove
![{\displaystyle \ {\bar {I}}_{0}(x)=\int _{}^{}{dx \over ax^{2}+bx+c\ .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de75a1e64dc9cbd9aa7a9b36d361025c4697295)
- Per determinare le costanti
si possono derivare i due membri delle formule precedenti, ridurre a forma intera i risultati e confrontare i numeratori per dedurre un sistema da risolvere rispetto alle costanti stesse.
con
simbolo di funzione razionale.
Ponendo:
dove
da cui:
, l'integrale diventa:
![{\displaystyle \int _{}{}F({t^{\mu }-b \over a},\ t^{mq_{1}},\ t^{pq_{2}},...t^{rq_{k}}){\mu \over a}\ t^{\mu -1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0a1556c8f9e8f4b834c0b4372b1ab01c2e5c71)
con:
e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.
- esempio
Ponendo
si ha:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{}{}{dx \over 1+{\sqrt {x}}}&=2\int _{}{}{t\ dt \over 1+t}=2t-2\log(1+t)\\&=2{\sqrt {x}}-2\log(1+{\sqrt {x}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510a938889ac0cf03af1e545a73cdbfe5de68d62)
Posto
onde
si ha:
![{\displaystyle \ \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=\int _{}{}{1 \over t-1}3\ t^{2}dt=3\int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699daf7f99fb58997040421bfe6d768012c62db4)
Ora,
quindi
![{\displaystyle \ \int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt=t+{t^{2} \over 2}+\log(t-1);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8f04ce8f4abb4c4e3ebb80361117ba82dbddab)
allora, per
![{\displaystyle \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=3[{\sqrt[{3}]{x}}+{1 \over 2}{\sqrt[{3}]{x}}^{2}+\log({\sqrt[{3}]{x}}-1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caeb95f6d50d80d18192aa130538e3e5d8f9c0cc)
con F simbolo di funzione razionale.
- Se
, si pone:
da cui:
![{\displaystyle x={t^{2}-c \over 2{\sqrt {a}}\ t+b},\qquad dx=2{(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt \over (2t{\sqrt {a}}+b)^{2}}dt,\qquad t=x+{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fdaed4bcd6464387f930a87d289e5b65dfdc33)
![{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt}{2t{\sqrt {a}}+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30995db3901e1840d3843b662bdd658a3c20beb1)
- Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.
- esempio
![{\displaystyle \int {}{}{1 \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bf44f4d850e58183eccf2b98a7e210a1318a91)
- Poniamo:
da cui
![{\displaystyle x={1 \over 2}{t^{2}-5 \over t-2},\qquad dx={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)^{2}}\ dt,\qquad t=x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c869d03d02e46fb43bfac0a5b72d3db8c141c5)
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x+5}}={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66b9aacc474db32aa146c83c1338cc6bc6a811d)
- allora, a meno di una costante:
![{\displaystyle \int _{}{}{1 \over {t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}}\ {1 \over 2}\ {t^{2}-4t+5 \over (t-2)^{2}}dt=\int _{}{}{dt \over t-2}=\log(t-2);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfee68774d073963f9ad7c56f428b6192b5aeb35)
- si ha quindi:
![{\displaystyle \int _{}{}{dx \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}=\log(x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}}-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70781ec226f3518d96e9232446cb71b3ec968f6f)
- Se
si pone invece:
essendo
una radice reale dell'equazione:
[Se le radici non fossereo reali, essendo
sarebbe immaginario]. Si ha quindi:
- da cui
![{\displaystyle \ :\qquad x={a\beta -\alpha t^{2} \over a-t^{2}},\qquad dx=-{2a(\alpha -\beta )t \over (a-t^{2})^{2}}\ dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b25e7493309eafcd2cd811d84accd4bc351aae7)
Sostituendo tutto in funzione di
l'integrale è ridotto a un integrale di funzione razinale di ![{\displaystyle \ t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ba513717f9b7044c7876ca0c0c1f490f3853b9)
(integrale di un differenziale binomio) con m, n, p, numeri razionali:
è intero
- Si sviluppa
con la regola del Binomio di Newton, si moltiplica il risultato per
e si decompone l'integrale in tanti integrali del tipo : ![{\displaystyle \ \int _{}^{}x^{k}\ dx\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3c6bc13bde99c6e485c08272bbe65f93cb6dd7)
è intero.
- Si pone
da cui: ![{\displaystyle \ x=({t-b \over a})^{1 \over n},\quad dx={1 \over na}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13d5fc0da4bdc46284b9554614dda0bce0531cf)
è intero.
formule risolutive notevoli:
dove :
![{\displaystyle \varphi (n,m)={k(n+m)-m \over k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1762007a8ac776418f17ef8661754741509a0d8f)
- dove:
![{\displaystyle \psi (n,\ m)={k(n+m)+m \over k}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21341063f5af2798caf6253fdabf92b863aa3b4a)
- dove:
è un polinomio di grado
e
è l'integrale quasi immediato n°1, quindi:
se : ![{\displaystyle {\begin{cases}a>0\\b^{2}-4ac>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d26ae3729c10c758fb83b368df314ea3f9d019)
se : ![{\displaystyle {\begin{cases}a>0\\b^{2}-4ac<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38865c459ea85b4afe5e75ead68ca8d60b7c1739)
se : ![{\displaystyle {\begin{cases}a<0\\b^{2}-4ac>0\end{cases}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3a6e096060c85770b125bb7c3a154613e6ef56)
- dove
è l'ntegrale 2 e le costanti
si possono determinare derivando i due membri e confrontando poi i risultati ottenuti.
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone:
da cui:
Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.
- esempio
![{\displaystyle \int _{}{}{dx \over sen\ x+cos\ x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cba20e9c2770b2005835ee06f0b09532221561)
Ricordato che
![{\displaystyle sen\ x={2\ tang{x \over 2} \over 1+tang^{2}{x \over 2}}\qquad cos\ x={1-tang^{2}{x \over 2} \over {1+tang^{2}{x \over 2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51f9adb9898e868e223aa9438ba8fb45231f164)
si porrà:
da cui
allora:
con che la funzione da integrare è una funzione algebrica razionale.
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone:
, da cui
e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.
- esempio
![{\displaystyle \int _{}{}tang\ x\ dx=\int _{}{}{t \over 1+t^{2}}\ dt={1 \over 2}\ log_{e}(1+t^{2})={1 \over 2}\log _{e}(1+tng^{2}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e338adcc33636ec02ba39f5db9d918a3097fe9d0)
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone :
da cui
e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.
- esempio
![{\displaystyle \int {}{}{1 \over 1+e^{x}}\ dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508cc8906e7ab7f2c83ed2e4243169e2bb27459a)
Posto
da cui
si ha:
e
![{\displaystyle \int {}{}{dx \over 1+e^{x}}=log\ e^{x}-log\ (1+e^{x})=x-log(1+e^{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63830a3412a3582781787f9eedc740de6ca5a15d)
Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.
, con F simbolo di funzione razionale.
- si pone:
onde:
- esempio
![{\displaystyle \int {}{}{5 \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d46229e098b8e2bda019fa843ff9bbcf785db2)
- Si pone
da cui:
e ![{\displaystyle \ t=arc\ sen{x \over 5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a5785e5b4e8dbc62738ceabeb7eb180b0958ea)
- Allora:
![{\displaystyle \int {}{}{x \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx=\int {}{}{5\ sent \over {\sqrt {5^{2}-5^{2}\ sen^{2}t}}}5\ cost\ dt=-5\ cost}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966d2073e2c4e3b837667e8bfc3e090d00da38fe)
- Sostituendo i ha:
![{\displaystyle \ -5\ cos\ arc\ sen{x \over 5}=-{\sqrt {5^{2}-x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9af4f72c218a36f145aa489f76c865964dcb83)
- Si pone:
ovvero
da cui:
![{\displaystyle \ dx=a\ sec^{2}t\ dt\qquad dx=a\ cosh\ t\ dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2806d3745d3d81e846509231a0e3efdde91e810d)
- Allora:
- ovvero
![{\displaystyle =\int {}F(a\ senh\ t,\ a\ cosh\ t)a\ cosh\ t\ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66789e81433ca2d22d5c4ac50181c37791da09f1)
- esempio
con
simbolo di funzione razionale.
- Si pone:
ovvero
onde:
![{\displaystyle \ =\int F(a\cosh t,a\sinh t)a\ \sinh t\ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b42f16d46a6c0c5c9abd848aaf871f042e716b5)
Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo
ovvero
, si ha:
![{\displaystyle \int _{}{}sen\ xF(sen^{2}x,cos\ x)dx=-\int _{}{}F(t-t^{2},t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88266db7c9f6007928ae88967375b685c5edb5d1)
![{\displaystyle \int _{}{}cos\ xF(cos^{2}x,sen\ x)dx=\int _{}{}F(1-t^{2},t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf6c493393d0ddebb5411f8895c29c110b8f9ba)
con F simbolo di funzione algebrca razionale.
formule notevoli di riduzione:
Mediante integrazione per parti si trovano facilmente le seguenti formule:
![{\displaystyle \ I_{m,n}=\int \sin ^{m}x\cos ^{n}x\ dx={\sin ^{m+1}x\cos ^{n-1}x \over m+n}+{n-1 \over m+n}I_{m,n-2}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ea71f9cd6534b8e62f44932d1faf6a957aa6c3)
quando sia: ![{\displaystyle m+n\neq 0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673fe74f99ff7f9449503375dbde1098f197ce4f)
![{\displaystyle \int {x^{m}e^{x}dx}=x^{m}e^{x}-m\int {x^{m-1}e^{x}dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140497294f721166823de25e3ed6ab8ce3972992)
![{\displaystyle \int {x^{m}[\log x]^{n}dx}={x^{m+1}[\log x]^{n} \over m+1}-{n \over m+1}\int {x^{m}[logx]^{n-1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72073ec3b5a2120a3b288651b4fe7c5138fe77d6)
![{\displaystyle \int {x^{m}\log[x+{\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}]}dx={x^{m+1}\log[x+{\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}] \over m+1}-{1 \over m+1}\int {x^{m+1}dx \over {\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fa2ab7d03f7401f0541329e0fd7635782709e6)
formule risolutive notevoli.
Se
è un intero positivo, si ha:
![{\displaystyle \int \sin ^{2n}xdx=\cos x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\sin ^{2i-1}x+c_{n+1}x\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d877edf2faf37682caa1b18e7a158e508bee9ad4)
![{\displaystyle \int {\sin ^{2n-1}x\ dx}=\cos x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\sin ^{2i-2}x\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87e48351a70da17e2aaf0bec2ecc712c4b0c641)
![{\displaystyle \int {cos^{2n}xdx}=\sin x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cos ^{2i-1}x+c_{n+1}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc2afa86ca5d65d36e2aece131383d986413018)
![{\displaystyle \int {\cos ^{2n-1}x}\ dx=\sin x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cos ^{2i-2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09552f23f83d186c094242e281881004b43ff15)
![{\displaystyle \int {}\sec ^{2n}xdx=\tan x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\sec ^{2i-2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93300abc930067ada2d0a75db4c123c7c13d75a0)