Si definisce matrice una tabella di
numeri reali (o complessi), disposti su n righe e m colonne, dove con il termine:
- riga intendiamo le righe orizzontali
- colonna intendiamo invece le righe verticali
Una matrice si presenterà nella forma più generica come:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,m}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0929d6de3aa3ca716eb0a785103200643232ff4e)
nel qual caso il numero di righe è n, mentre quello delle colonne è m. Solitamente per denominare le matrici
si usano le lettere maiuscole latine.
- I numeri che riempiono una matrice vengono detti elementi ognuno dei quali occupa una posizione ben precisa. Un generico elemento è denotato con
, dove la coppia di indici i,j indicano rispettivamente l'i-esima riga e la j-esima colonna e determinano univocamente la posizione dell'elemento nella matrice.
- La dimensione di una matrice che ha n righe e m colonne è
![{\displaystyle n\times m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82325a2a02ad79bc7c347ba9702ad46eb0de824)
- Esempio
- Sia A la seguente matrice:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&3\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cad9368e963898f5f0161a3ae4d33e4513ea73)
- In questo caso la dimensione di A è
in quanto vi sono 2 righe e 2 colonne, inoltre:
- L'elemento
perché 1 si trova all'incrocio della prima riga e la prima colonna
- L'elemento
perché 2 si trova all'incrocio della prima riga e la seconda colonna
- L'elemento
perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la prima colonna
- L'elemento
perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la seconda colonna
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}=ab'-a'b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b9f6987064bbfa8511ef615245e637d0d25f1a)
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{vmatrix}}=a(b'c''-c'b'')-b(a'c''-c'a'')+c(a'b''-b'a'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267a126bf6a288bb3131b382bb5266a535249a9b)
(regola di sviluppo di Laplace):
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\\a'''&b'''&c'''&d'''\end{vmatrix}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b59ee2566cb342bba7620a51a679a658862a54)
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c''&d''\\c'''&d'''\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a&b\\a''&b''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c'&d'\\c'''&d'''\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b\\a'''&b'''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c'&d'\\c''&d''\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a'&b'\\a''&b''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c&d\\c'''&d'''\end{vmatrix}}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc86be99303370a95c162000ad73ea44c2de355c)
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a'&b'\\a'''&b'''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c&d\\c''&d''\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a''&b''\\a'''&b'''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c&d\\c'&d'\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebb4723949f1ea813980ceec3dbffd5faffed7c)
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}...&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}...&a_{nn}\end{vmatrix}}=a_{r1}A_{r1}+a_{r2}A_{r2}+.....+a_{rn}A_{rn},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66d80cd1c69e8ddef61de649168d7c0d43e1be8)
dove
è il determinante di ordine
, ottenuto dal dato colla soppressione della orizzontale
e della verticale
preso col segno
il determinante
si dice complemento algebvrico o aggiunto di
Se
si ha:
![{\displaystyle \ a_{s1}A_{r1}+a_{s2}A_{r2}+....+a_{sn}A_{rn}0=,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae9347f1bf6f47efe52036b25597678851cd959)
(sviluppo di un determinante con due line uguali il cui valore è 0).
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1....&1\\a_{1}&a_{2}....&a_{n}\\a_{1}^{2}&a_{2}^{2}....&a_{n}^{2}\\..&..&..&\\a_{1}^{n-1}&a_{2}^{n-1}....&a_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{(r>s)}(a_{r}-a_{s})\qquad con\ {\begin{cases}r=2,3,..n\\s=1,2,..n-1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8bfbbe702eb5e78506e34ba04686c77a989029)
Questo determinante è diverso da
se i numeri
sono differenti.
![{\displaystyle \ \nabla ={\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}.....&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}.....&A_{2n}\\..&..&..\\A_{n1}&A_{n2}.....&A_{nn}\end{vmatrix}}=D^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2968ddad6467a4c42894f96b417ad73b2ba4aa84)
essendo
il determinante dato.
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}....&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}....&a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}....&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}....&b_{2n}\\..&..&..\\b_{n1}&b_{n2}....&b_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}....&c_{1n}\\c_{21}&c{22}....&c_{2n}\\..&..&..\\c_{n1}&c_{n2}....&c_{nn}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4acafcd9458fc4b5cfd9fc50356d02e481c6fd)
dove:
cioè:
risulta dalla moltiplicazione della
orizzontale del
per la
del
Il prodotto però può pure eseguirsi per verticali fra loro oppure anche con orizzontali per verticali o viceversa.
Data la matrice:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\......&....&.....&........\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14e4b60a7f30b033feb9b6eefc0a1adfae90852)
si dice rango l'ordine massimo dei determinanti diversi da zero contenuti nella matrice. Date m forme lineari: ar1x1+ar2x2+...+arnxn=Ur con r=1,2...m, la carsatteristica della matrice dei coefficienti dà il numero di tali forme linearmente indipendenti.
- esempio: Il rango della seguente matrice quadrata è 2.
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}5&8&7\\13&11&-2\\18&19&5\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e8f5d9f730a4622063eb058646cf84ab994a64)
Notare che in questo caso la matrice contiene un determinante di terzo ordine che è zero, nove determinanti di secondo ordine non nulli, e nove determinanti di primo ordine (elementi).