Analisi matematica/Serie

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a) Data una serie di funzioni:

si dice che essa è uniformemente convergente in un intervallo (a,b), quando, dato un arbitrario, esiste un indice tale che, essendo e qualunque sia x in (a,b) si ha:

Se in un intervallo (a,b) si ha: essendo una serie di numeri positivi convergente, la serie è uniformemente convergente in (a,b).

b) Una serie di funzioni continue uniformemente convergenti in un intervallo (a,b) è una funzione continua in (a,b).

c) Una serie di potenze:

se converge per un valore x= x0, converge per ogni valore di x tale che:

d) Una serie di potenze converge assolutamente ed uniformemente in ogni intervallo interno al suo intervallo di convergenza.

e) Le serie:

hanno per intervallo di convergenza l'intervallo (-1,+1). Negli estremi di questo intervallo la prima non converge perché il suo termine generale non tende a 0; la seconda converge per x=-1, diverge per x=1', la terza converge assolutamente tanto per x=1, quanto per x=-1.