a) Limite o estremo superiore di una funzione in un campo
: è un numero L tale che ogni valore di essa in C è
e, qualunque sia
, esiste qualche valore della funzione maggiore di
.
b) Limite o estremo inferiore di una funzione in un campo C : è un numero l tale che ogni valore di essa in C è ≥l e, qualunque sia ε, esiste qualche valore della funzione minore di l+ε. Una funzione che ammetta limite superiore ovvero inferiore finiti si dice limitata superiormente o inferiormente e, se li ammette entrambi, si dice limitata.
c) Limite sinistro finito di f(x). Il numero l è limite sinistro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per a-x<δ (a>x) è pure |f(x)|<ε.
si scrive
d) limite destro finito di f(x).
Il numero l è limite destro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per x-a<δ (a<x) è pure: |f(x)-l|<ε.
Si scrive
Esempio
- |x| = massimo intero contenuto in x.
e) Limite finito di f(x).
Il numero l è limite o punto di accumulazione di f(x) per x→a se, dato un ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per |x-a|<δ si ha pure: |f(x)-l|< di ε.
Si scrive
Esempio
perché: |sin x|<|x| in un intorno completo di 0.
Quando una funzione ha un limite finito per x→a, si dice convergente per x→a.
f) Limite infinito di f(x).
- 1) Si dice che f(x) ha limite
per x→a se per |x-a|<δ si ha rispettivamente: f(x)>M ovverif(x)<-M, essendo M un numero arbitrario positivo. Il limite
può essere anche sinistro o destro come quello finito.
- esempio:
poiché per 0<x<ε si ha: 
- 2) Si dice che f(x) ha limite
per x→+∞ se per x>M si ha rispettivamente: f(x)>N ovvero f(x)<-N con M, N numeri positivi arbitrari, Analogamente per x→-∞.
Quando una funzione ha limite ±∞ per x→a si dice divergente per x→a.
- Esempio:
perché:

g) Limiti di z=f(x,y) per
e
- Si dice che la funzione z=f(x,y) tende a l quando x tende a x0 e y tendea y0 se, dato
arbitrario, quando

si ha
e si scrive
- Esempio: La funzione
tende a
quando x e y tendono a 1.
h) Proprieta dei limiti
- 1) Se una funzione f(x) è sempre crescente (o sempre decrescente) per x→a, ammette un limite finito o infinito; in entrambi i casi coincide col suo estremo superiore(o col suo estremo inferiore).
- Esempio: la funzuione
crescente per x→∞ ammette come limite il numero e=2,71828.., base dei logaritmi neperiani.
- 2) Se una funzione f(x) è tale che: φ(x)≤f(x)≤ψ(x) e:
si ha pure: 
Esempio: siccome:
per x→0 e quindi: 
si deduce;

- 3) Se una funzione è definita in un campo C, esiste almeno un punto in ogni intorno del quale il limite superiore (o inferiore) della funzione coincide col limite superiore (o inferiore) della stessa in C (teorema di Weierstrass).
- 4)

- Esempio

- 5)

- esempio

- 6)

- esempio

- 7)

- esempio

- 8)

- esempio
