Analisi matematica/Equazioni differenziali di primo ordine

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
Jump to navigation Jump to search
Indice del libro

Equazioni a variabili separabili[modifica]

Forma tipica:

.

Soluzione: Si dividono i due membri per il prodotto

che è a variabili separate, basta quindi integrare separatamente i due termini (eseguire le quadrature) e cioè scrivere:

Esempi:

Si dividono i due membri per:

da cui, integrando:

funzione che dà l' integrale generale.

Equazione esatta[modifica]

Forma tipica

con la condizione:

Soluzione: Si considera costante e si pone l'integrale generale nella forma:

si determina poi la funzione con la condizione:

Da cui:

Si ha così la formula risolutiva:

Esempio:

L'equazione è esatta, perché:

Si ha quindi:

con la condizione:

cioè:

da cui si trae:

ovvero integrando:

Sostituendo in (1) si trova infine:

onde l'integrale generale dell'equazione è:

Equazioni riducibili esatte ossia per le quali esiste un fattore integrante[modifica]

Caso a[modifica]

Forma tipica:

Essendo: funzioni omogenee e il fattore integrante è:

(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per , e si ottiene così una equazione esatta che si

risolve come è stato indicato per il tipo.

(II°) metodo di soluzione: Si pone: , onde e l'equazione data diventa:

da cui, separando le variabili:

e integrando:

Esempio:

Risolvendo rispetto a y' si ha:

Poniamo: onde: e l'equazione diviene:

.

Integrando si ottiene: ovvero: che è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse y.

Caso b[modifica]

Forma tipica:

Fattore integrante:

Esempio:

Fattore integrante:

Dividendo l'equazione per si ha:

che è una equazione esatta.

Integrando si ottiene: da cui l'integrale generale:

Caso c[modifica]

Forma tipica:

Quando:

Fattore integrante:

Esempio:

Si ha:

onde il fsattore integrante è:

Si deduce quindi l'equazione esatta:

da cui integrando si ha:

Caso d[modifica]

Forma tipica:

Quando:

Fattore integrante:

Esempio:

Si ha:

onde il fattore integrante è:

Dividendo quindi l'equazione per y, si ha l'equazione esatta:

il cui integrale generale è: