Forma tipica:
.
Soluzione: Si dividono i due membri per il prodotto
![{\displaystyle \ {A(x) \over C(x)}dx+{D(y) \over B(y)}dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10359b0c9a8053accc2770dc8e3f91cd32d0aad6)
che è a variabili separate, basta quindi integrare separatamente i due termini (eseguire le quadrature) e cioè scrivere:
![{\displaystyle \ \int {A(x) \over C(x)}dx+\int {D(y) \over B(y)}dy=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adf7f7e293db575bf228825a2c2d7e6ac90284e)
Esempi:
![{\displaystyle \ xydx+{\sqrt {1-x^{2}}}dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7670006a1877403555292f555fe86a9894d9ff4)
Si dividono i due membri per:
![{\displaystyle \ {x\ dx \over {\sqrt {1-x^{2}}}}+{dy \over y}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9cc0cb57e0ea7d93703a24bc1581837d70817f)
da cui, integrando:
![{\displaystyle \ -{\sqrt {1-x^{2}}}+\lg \ y=c\qquad \log \ y={\sqrt {1-x^{2}}}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd4e778c8164c9d714e9bee3329c14d5debd15b)
![{\displaystyle \ y=C\ e^{\sqrt {1-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d79b961eb4f6cacf83c6d16c848b2ac7b2b8cbc)
funzione che dà l' integrale generale.
Forma tipica
![{\displaystyle \ A(x,y)dx+B(x,y)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa7e0691aa74472dc2e8817ba2a389e965ae016)
con la condizione:
Soluzione: Si considera
costante e si pone l'integrale generale nella forma:
![{\displaystyle \ u(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\varphi (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db28ea9fc657cb37bf90e615d18da7933872b9e)
si determina poi la funzione
con la condizione:
![{\displaystyle \ {\partial u \over \partial y}=B(x,y)\qquad ovvero:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8287cb2f0be904914ffa81d3548ca30078e28456)
![{\displaystyle \ B(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial A \over \partial y}\,dx+\varphi '(y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial B \over \partial x}\,dx+\varphi '(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d15691d33a8388b2f448c37e80a6803dde65f67)
Da cui:
![{\displaystyle \ \varphi '(y)=B(x_{0},y)\qquad e\qquad \varphi (y)=\int _{y_{0}}^{y}B(x_{0},y)\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc8166eb620a9a7ffb4f9fff3c6c212513aa6f9)
Si ha così la formula risolutiva:
![{\displaystyle \ u(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(y_{0},y)\,dy=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899e3b85f73e873c93a76da8449fb4706370e0b7)
Esempio:
L'equazione è esatta, perché:
Si ha quindi:
con la condizione:
cioè:
da cui si trae:
ovvero integrando:
Sostituendo in (1) si trova infine:
![{\displaystyle \ u(x,y)={x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}]),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f182b26c9bfe249f885f89666008d8eb4c25cfba)
onde l'integrale generale dell'equazione è:
![{\displaystyle \ {x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}])=C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cca804cf65b27ba98ce35a8a0d92ade9115b37)
Forma tipica:
Essendo:
funzioni omogenee e
il fattore integrante è:
(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per
, e si ottiene così una equazione esatta che si
risolve come è stato indicato per il
tipo.
(II°) metodo di soluzione: Si pone:
, onde
e l'equazione data diventa:
da cui, separando le variabili: ![{\displaystyle \ {dx \over x}={dt \over f(1,t)-t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df21829c0e3150ad0921eab11d71f2f853fd472e)
e integrando:
Esempio:
Risolvendo rispetto a y' si ha:
![{\displaystyle \ {dy \over dx}={2xy \over x^{2}-y^{2}},\qquad ovvero{dy \over dx}={2{y \over x} \over {1-({y \over x})^{2}}}\qquad (y\neq x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7fe178ee334a72d34cb51112fc4b64041b814e)
Poniamo:
onde:
e l'equazione diviene:
.
Integrando si ottiene:
ovvero:
che
è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse y.
Forma tipica:
Fattore integrante:
Esempio:
Fattore integrante:
Dividendo l'equazione per
si ha:
che è una equazione esatta.
Integrando si ottiene:
da cui l'integrale generale:
![{\displaystyle \ y=Ce^{xy}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555d106e55e634a5699f75f33fe7ddbbc6b9d673)
Forma tipica:
Quando:
Fattore integrante:
Esempio:
Si ha:
onde il fsattore integrante è:
Si deduce quindi l'equazione esatta:
![{\displaystyle \ e^{x}(x^{2}+y^{2}+2x)dx+2e^{x}ydy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cac5cb51b5891370a3f34c495090621ce233e6)
da cui integrando si ha:
Forma tipica:
Quando:
Fattore integrante:
Esempio:
Si ha:
onde il fattore integrante è:
Dividendo quindi l'equazione per y, si ha l'equazione esatta:
![{\displaystyle \ ydx+(x+{1 \over y})dy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a5d948707a22875b0cd3c07595be43ee776550)
il cui integrale generale è:
![{\displaystyle \ xy+logy=C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011bdbff1840377badd119c336be5af2c23f8bde)