Equazioni a variabili separabili[modifica]
Forma tipica:
.
Soluzione: Si dividono i due membri per il prodotto

che è a variabili separate, basta quindi integrare separatamente i due termini (eseguire le quadrature) e cioè scrivere:

Esempi:

Si dividono i due membri per:

da cui, integrando:


funzione che dà l' integrale generale.
Equazione esatta[modifica]
Forma tipica

con la condizione:
Soluzione: Si considera
costante e si pone l'integrale generale nella forma:

si determina poi la funzione
con la condizione:


Da cui:

Si ha così la formula risolutiva:

Esempio:
L'equazione è esatta, perché:
Si ha quindi:
con la condizione:
cioè:
da cui si trae:
ovvero integrando:
Sostituendo in (1) si trova infine:
![{\displaystyle \ u(x,y)={x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}]),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f182b26c9bfe249f885f89666008d8eb4c25cfba)
onde l'integrale generale dell'equazione è:
![{\displaystyle \ {x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}])=C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cca804cf65b27ba98ce35a8a0d92ade9115b37)
Equazioni riducibili esatte ossia per le quali esiste un fattore integrante[modifica]
Forma tipica:
Essendo:
funzioni omogenee e
il fattore integrante è:
(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per
, e si ottiene così una equazione esatta che si
risolve come è stato indicato per il
tipo.
(II°) metodo di soluzione: Si pone:
, onde
e l'equazione data diventa:
da cui, separando le variabili: 
e integrando:
Esempio:
Risolvendo rispetto a y' si ha:

Poniamo:
onde:
e l'equazione diviene:
.
Integrando si ottiene:
ovvero:
che
è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse y.
Forma tipica:
Fattore integrante:
Esempio:
Fattore integrante:
Dividendo l'equazione per
si ha:
che è una equazione esatta.
Integrando si ottiene:
da cui l'integrale generale:

Forma tipica:
Quando:
Fattore integrante:
Esempio:
Si ha:
onde il fsattore integrante è:
Si deduce quindi l'equazione esatta:

da cui integrando si ha:
Forma tipica:
Quando:
Fattore integrante:
Esempio:
Si ha:
onde il fattore integrante è:
Dividendo quindi l'equazione per y, si ha l'equazione esatta:

il cui integrale generale è:
