Analisi matematica/Equazioni riducibili lineari: differenze tra le versioni
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==Equazioni riducibili lineari== |
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== Equazione di Bernoulli== |
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Forma tipica:<math>\ -\qquad {dy\over dx}+a(x)y=b(x)y^n.</math> |
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Si pone : <math>\ z=y^{1-n},</math> onde <math>\ z'=(1-n)y{-n}y'</math> e ponendo in questa l'espressione di '''y' ''' si |
Si pone : <math>\ z=y^{1-n},</math> onde <math>\ z'=(1-n)y{-n}y'</math> e ponendo in questa l'espressione di '''y' ''' si |
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:::::<math>\ {1\over 1-n}{dz\over dx}+az=b,</math> che è lineare in '''z'''. |
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=== Esempio === |
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<math>\ Esempio \qquad {dy\over dx}+{2\over x}y={y^3\over x^3}</math> |
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<math>{dy\over dx}+{2\over x}y={y^3\over x^3}</math> |
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Si pone: <math>\ z=y^{-2},\quad z'=-2y^{-3}y'</math> e l'equazione diventa: |
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::::::<math>\ {dz\over dx}={4\over x}-{2\over x^3},</math> |
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che risolta da: <math>\ z={1\over 3x^2}+Cx^4\qquad ovvero:{1\over y^2}={1\over x^2}+Cx^4.</math> |
che risolta da: <math>\ z={1\over 3x^2}+Cx^4\qquad ovvero:{1\over y^2}={1\over x^2}+Cx^4.</math> |
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== Equazione di Riccati == |
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Forma tipica:<math>\ -\qquad {dy\over dx}+ay^2+by+C=0.</math> |
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:::::<math>\ y=y_1+z</math> |
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Essa si trasforma in una equazione di Bernoulli. |
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=== Esempio === |
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<math>{dy\over dx}-xy^2+2x^2y-x^3-1=0.</math> |
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Questa equazione ammette l'integrale particolare; <math>\ y_1=x,</math> per cui ponendo: <math>\ y=x+z</math> l'equazione diventa: <math>\ {dx\over dx}=xz^2</math> che si integra subito separando levariabili e si trova: |
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l'equazione diventa: <math>\ {dx\over dx}=xz^2</math> che si integra subito separando levariabili e si trova: |
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<math>\ z=-{1\over {x^2\over 2}+C}</math> pere cui l'integrale generale della data è: |
<math>\ z=-{1\over {x^2\over 2}+C}</math> pere cui l'integrale generale della data è: |
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Se si pone : <math>\ y=y_1+{1\over z},</math> l'equazione data si trasforma in una equazione lineare. |
Se si pone : <math>\ y=y_1+{1\over z},</math> l'equazione data si trasforma in una equazione lineare. |
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::::Forma tipica:<math>\ -\qquad y=\alpha (y')x+\beta (y').</math> |
::::Forma tipica:<math>\ -\qquad y=\alpha (y')x+\beta (y').</math> |
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Si derivano i due membri rispetto a xe si pone: <math>\ y'=t</math>, onde l'equazione diventa: |
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::::<math>\ [t-\alpha(t)]{dx\over dt}=\alpha '(t)x+\beta '(t),</math> |
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che è lineare nell'incognita <math>\ x=x(t).</math> |
che è lineare nell'incognita <math>\ x=x(t).</math> |
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L'integrale generale si trova così in forma parametrica: |
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:::::<Math>\ \begin{cases}x&\varphi(t,C)\\y&\alpha (t)\varphi (t,C)+\beta (t)\end{cases}</math> |
:::::<Math>\ \begin{cases}x&\varphi(t,C)\\y&\alpha (t)\varphi (t,C)+\beta (t)\end{cases}</math> |
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Se in particolare: <math>\ \alpha (y')=y'</math> l'equazione si dice di '''Clairaut'''. |
Se in particolare: <math>\ \alpha (y')=y'</math> l'equazione si dice di '''Clairaut'''. |
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=== Esempio === |
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<math>\ Esempio </math> |
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::::::<math>\ y=xy^{'2}+y^'</math> |
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::::<math>\ {-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_1-2)t+1]\over (t-1)^2}</math> |
::::<math>\ {-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_1-2)t+1]\over (t-1)^2}</math> |
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::::::<math>\ y=xy^{'}+y^{'2}.</math> |
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Derivando e ponendo <math>\ y^'=t</math> si trova: |
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::::<math>\ {dt\over dx}(x+2t)=0.</math> |
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L'equazione: <math>\ {dt\over dx}=0</math> fornisce l'integrale generale, poiché: <math>\ t=C,\quad y^'=C,\quad |
L'equazione: <math>\ {dt\over dx}=0</math> fornisce l'integrale generale, poiché: <math>\ t=C,\quad y^'=C,\quad y=Cx+C_1</math> che confrontata con la data diventa: <math>\ y=Cx+C^2.</math> |
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y=Cx+C_1</math> che confrontata con la data diventa: <math>\ y=Cx+C^2.</math> |
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L'altra equazione: <math>\ x+2t=0</math> da l'integrale singolare che è: <math>\ y^'=-{x\over 2}</math> da cui <math>\ y= |
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-{x^2\over 4},</math> equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo |
L'altra equazione: <math>\ x+2t=0</math> da l'integrale singolare che è: <math>\ y^'=-{x\over 2}</math> da cui <math>\ y=-{x^2\over 4},</math> equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo della famiglia costituita dall'integrale generale. |
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generale. |
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[[Categoria:Analisi matematica|Equazioni riducibili lineari]] |
Versione attuale delle 19:20, 19 mar 2022
Equazione di Bernoulli[modifica]
Forma tipica:
Si pone : onde e ponendo in questa l'espressione di y' si
ha l'equazione:
- che è lineare in z.
Esempio[modifica]
Si pone: e l'equazione diventa:
che risolta da:
Equazione di Riccati[modifica]
Forma tipica:
Essendo a, b, e C funzioni date di x:
Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo
Essa si trasforma in una equazione di Bernoulli.
Esempio[modifica]
Questa equazione ammette l'integrale particolare; per cui ponendo: l'equazione diventa: che si integra subito separando levariabili e si trova:
pere cui l'integrale generale della data è:
Se si pone : l'equazione data si trasforma in una equazione lineare.
Equazione di Lagrange[modifica]
- Forma tipica:
Si derivano i due membri rispetto a xe si pone: , onde l'equazione diventa:
Ovvero:
che è lineare nell'incognita
L'integrale generale si trova così in forma parametrica:
Se in particolare: l'equazione si dice di Clairaut.
Esempio[modifica]
1) Si risolva l'equazione di Lagrange:
Derivando e ponendo poi si ha l'equazione lineare nell'incognita x:
Procedendo ora come è stato indicato nelle Equazioni lineari si trova
Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:
2) Si risolva l'equazione di Clairaut:
Derivando e ponendo si trova:
L'equazione: fornisce l'integrale generale, poiché: che confrontata con la data diventa:
L'altra equazione: da l'integrale singolare che è: da cui equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo della famiglia costituita dall'integrale generale.