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Un castello di sabbia

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Argomento precedente: Energia e lavoro Nei sistemi di riferimento non inerziali le leggi della dinamica sono modificate e si manifestano delle forze che vengono chiamate fittizie o apparenti. Tali forze non provengono da nessuna interazione tra oggetti, ma piuttosto dalla accelerazione propria del sistema di riferimento non inerziale. Si noti che un cambiamento di sistema di riferimento ad esempio da cartesiano a polare non comporta l'insorgere di forze apparenti, anche se le leggi del molto possono variare da un tipo all'altro di sistema di riferimento.

Le forze dovute al moto relativo non uniforme tra i due sistemi di riferimento sono chiamate forze apparenti. La II legge della dinamica continua ad essere valida e quindi l'accelerazione si mantiene proporzionale alla forza.

Una forza apparente compare su un oggetto quando il sistema di riferimento usato per descrivere il movimento dell'oggetto stesso viene accelerato rispetto a un sistema di riferimento inerziale. Le accelerazioni possono avvenire in maniera molto diversa, ma per spiegare i fenomeni si enucleano 4 forze apparenti: 1) quella causata da accelerazioni in linea retta; 2) quella riguardante un sistema in rotazione (forza centrifuga); 3) moto in un sistema in rotazione (la forza di Coriolis); 4) sistema in rotazione velocità angolare variabile.

Esempi di forze apparenti

Prima di fare una analisi dettagliata si fanno degli esempi chiarficatori

Accelerazione in linea retta

Figura in alto: una macchina in accelerazione di massa M con un passeggero di massa m. Figura di mezzo cosa avviene dal punto di vista di un riferimento inerziale. Figura in basso cosa avviene nel sistema di riferimento solidale alla macchina

Un esempio facilmente comprensibile è quello mostrato nella figura a fianco nella porzione in alto. Una macchina di massa M con un passeggero di massa m in fase di accelerazione. Il passaggero si sente schiacciare contro il sedile. Nel sistema di riferimento inerziale non vi è nessuna forza che spinge il passaggero contro il sedile. Mentre nel sistema di riferimento non inerziale della macchina vi è una forza fittizia -ma che spinge il passeggero contro il sedile. Vi sono due modi possibili di analizzare il problema:

1. Figura centrale. Punto di vista di un sistema di riferimento inerziale la macchina sta accelerando. Per mantenere il passeggero sul sedile dellla macchina deve essere esercitata una forza sul passeggero. La forza è la reazione vincolare del sedile, che ha incominciato a muoversi in avanti quando la macchina ha accelerato e ha compresso il sedile verso il passeggero fino a raggiungere una situazione di equilibrio dinamico in maniera che la macchina e il passeggero si muovono insieme. Il passeggero quindi viene accelerato esattamente come la macchina con la forza della spinta del sedile.
2. Figura in basso. Dal punto di vista dell'interno della macchina, un sistema di riferimento non inerziale, vi è una forza fittizia che spinge il passeggero contro il sedile, con valore pari alla massa del passeggero moltiplicata per la accellerazione della macchina. Questa forza spinge il passegero contro il sedile, fino a quando il sedile compresso non compensa esattamente la forza fittizia. In questo sistema di riferimento il passeggero è in quiete.

Mentre nel sistema inerziale vi è solo la forza propulsiva della macchina che accelera la vettura e con essa il sedile rigidamente connesso, mentre la spinta del sedile agisce sul passeggero che si muove con la vettura. Nel sistema di riferimento non inerziale, la vettura in moto, lo stato di quiete è giustificato da due forze equali ed opposte quella fittizia del passeggero contro il sedile e quella del sedile contro il passeggero. La spiegazione fisica è più semplice nel sistema inerziale, ma la formulazione matematica potrebbe essere più complicata nel sistema inerziale. In questo caso specifico non vi è differenza di calcolo nei due sistemi di riferimento.

L'esempio illustra come le forze apparenti sono una conseguenza dell'osservazione dei fatti in un sistema di riferimento non inerziale. Vi sono dei casi in cui è più semplice studiare i fenomeni dal punto di vista di un sistema non inerziale.

Forza centrifuga

Un effetto simile si ha nel moto lungo un circuito circolare di una macchina. Dal punto di vista di un sistema di riferimento sulla strada si osserva un moto circolare della macchina. Quando lo stesso fenomeno è osservato in un sistema sulla macchina appare una forza apparente detta forza centrifuga. Se la macchina si muove a velocità costante lungo il tratto di strada circolare, gli occupanti della macchina si sentono spinti in fuori dal centro di rotazione dalla forza centrifuga. Anche in questo caso il fenomeno può essere visto dal punto di vista del sistema inerziale e da quello non inerziale solidale con la macchina.

1. Dal punto di vista del sistema di riferimento inerziale stazionario rispetto alla strada, la macchina accelera verso il centro del cerchio. L'accelerazione è necessaria in quanto la direzione della velocità cambia, anche se in modulo rimane costante. La accelerazione verso il centro è chiamata accelerazione centripeta e richiede una forza centripeta per permettere il moto circolare. Nel caso di una macchina questa forza è fornita in genere dall'attrito statico tra le ruote e la strada. Questa forza causa il movimento lungo una circonferenza. In questo caso a causa dell'attrito statico tra passeggero e il sedile su cui è poggiato, anche il passeggero si muove di moto circolare uniforme come la macchina.
2. Dal punto di vista del sistema del sistema di riferimento ruotante, che si muove con la macchina, vi è una forza fittizia centrifuga che spinge gli occupanti della macchina verso l'esterno a cui ci oppone l'attrito del sedile che impedisce che le persone vadano a urtare la portiera. In questo riferimento il passeggero è fermo.

Forza di Coriolis

Schema di come nasce un tifone tropicale

Se da una torre alta 50 m viene lanciato un oggetto, se l'attrito dell'aria è trascurabile, cadrà in un punto a 7.7 mm ad est dalla verticale. Dal punto di vista di un osservatore sulla terra, sistema ruotante non inerziale, vi è la forza apparente di Coriolis che causa un moto non rettilineo, dal punto di vista di un osservatore inerziale durante il tempo di caduta la terra ruota e quindi l'oggetto cade in linea retta e la terra gli si sposta di sotto. Nei sistemi di riferimento ruotanti la forza di Coriolis dipende dalla velocità relativa rispetto al sistema di riferimento inerziale. Quindi se vi è un apparente equilibrio statico non vi è nessuna forza di Coriolis.

Un altro esempio di forza di Coriolis è dato da quello che succede se vi è una area di bassa pressione su cui convergono dei venti (frecce blu). A causa della forza di Coriolis se si è nell'emisfero boreale a causa della rotazione terrestre una corrente che viene da Nord viene deviata verso Ovest (tanto più quanto veloce è il vento). Mentre per una che viene da sud viene deviata verso est. Dal punto di vista di un osservatore esterno è la terra che ruota. Se non vi è vento l'atmosfera ruota con la terra e non si ha formazione di nessun vortice: quindi la combinazione del moto della terra e di correnti d'aria causa tale effetto. Come conseguenza nell'emisfero boreale i vortici girano in verso antiorario e nell'emisfero australe ruotano in senso antiorario.

Forza di trascinamento angolare

Se durante il moto di una macchina lungo una circonferenza aumenta la velocità angolare si ha un qualcosa di simile a quello che si è descritto nel moto accelerato lineare. Dal punto di vista del sistema non inerziale vi è oltre alla forza centrifuga una forza apparente che spinge il passeggero verso il sedile. Se invece la macchina è in fase di decelerazione il passeggero viene spinto verso il parabrezza. Dal punto di vista di un osservatore inerziale vi sono solo la forza centrifuga e la accelerazione angolare con la relativa forza.

Formulazione analitica

Un oggetto in x_A nel sistema di riferimento inerziale A ha una posizione x_B nel sistema accelerato B. L'origine di B è in X_AB nel sistema A. Le orientazioni del sistema B è determinato dai versori lungo i suoi assi delle coordinate u_j con j = 1, 2, 3. Usando questi assi, le coordinate dell'oggetto nel sistema B sono x_B = ( x₁, x₂, x₃ )

La figura serve per fare una formulazione analitica dei moti relativi. Un punto materiale di massa m e posizione x_A(t) in un sistema di riferimento inerziale A. Consideriamo un sistema di riferimento non inerziale B la cui origine è in X_AB nel sistema A. Nel sistema B la posizione del punto materiale è x_B(t). Vogliamo determinare le forze agenti nel sistema di riferimento B sul punto materiali Gli assi delle coordinate nel riferimento B sono identificati dai versori u_j con j { 1, 2, 3 } per i tre assi delle coordinate.

Quindi la posizione del punto materiale secondo il sistema B è:

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\ .$

Mentre nel sistema A la posizione è:

$\mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\ .$

I versori { u_j } non variano di ampiezza nel tempo, quindi la loro derivata temporale è diversa da zero se il sistema B ruota. Inoltre il vettore X_AB fornisce la posizione dell'origine di B rispetto ad A, e non include la rotazione del sistema B solo i versori possono ruotare.

Velocità relativa

Quindi facendo la derivate temporali, la velocità del punto materiale diviene:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\ .$

Il primo termine è la velocità con cui si sposta l'origine di B (v_AB). Il secondo termine è la velocità del punto materiale, cioè v_B nel sistema di riferimento B, quindi possiamo scrivere:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

L'interpretazione di questa equazione è che la velocità del punto materiale vista dall'osservatore in A considte di quella che l'osservatore in B chiama velocità, cioè v_B, più due termini aggiuntivi uno dovuto alla velocità dell'origine e l'altro dovuto alla rotazione del sistema di riferimento, l'effetto di quest'ultimo termine è tanto più grande quanto il punto materiale è lontano dall'origine in B.

Accelerazione relativa

Per ottenere l'accelerazione bisogna fare una ulteriore derivata nel tempo:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.$

Usando la stessa formula già usata per la derivata temporale di x_B, le derivata della velocità (v_B) in forma esplicita diviene:

${\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

Di conseguenza

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.$

Forze apparenti

Moltiplicando per la massa si ha che:

$\mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .$

La forza osservata nel riferimento B, F_B = ma_B è dovuta alla forza reale , F_A, da:

$\mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mbox{apparenti}},$

dove:

$\mathbf {F} _{\mbox{apparenti}}=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .$

La prima forza apparente è dovuta all'accelerazione dell'origine di B. Il secondo termine è la cosidetta accelerazione di Coriolis (il fattore due deriva da due contributi diversi come ricavato con la derivazione analitica) Il terzo termine contiene sia la accelerazione centrifuga che l'eventuale accelerazione angolare.

La seconda legge della dinamica vale anche per le forze apparenti, che possono essere considerate forze a tutti gli effetti.

Alcuni casi particolari permettono di esplicitare meglio le cose.

Sistema di riferimento ruotante

Una situazione comune è quando il sistema di riferimento ruota. A causa di tale rotazione il sistema di riferimento B non è inerziale, dovuto al fatto che per avere rotazione è necessaria una accelerazione, quindi in questo caso se ci si mette nel riferimento in rotazione sono sempre presenti forze apparenti.

Per derivare l'espressione delle forze apparenti, è necessario esplicitare le derivate dei versori delle coordinate del sistema in rotazione. Se la rotazione del sistema B è rappresentata da un vettore Ω che punta lungo l'asse di rotazione con direzione determinata dalla regola della mano destra e con ampiezza data da:

$|{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),$

Allora la derivata prima temporale dei tre versori che descrivono il sistema B è:

${\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),$

La derivata seconda temporale è:

${\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],$

abbiamo usato le regole del prodotto vettoriale. Queste derivate sono sostituite nella espressione finale della accelerazione relativa ponendo a_AB = 0 (escludendo traslazione dell'origine e ponendo l'accento sulla sola rotazione):

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},$

$\mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]$

$=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].$

Riunendo i termini, ed esprimendo in funzione di a_B, si ha che:

$\mathbf {a} _{B}=\mathbf {a} _{A}-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\ .$

L'accelerazione a_A è quella che si osserva nel sistema inerziale A ed è dovuta alle forze esterne reali, mentre l'accelerazione a_B vista nel sistema ruotante B ha parecchi termini aggiuntivi oltre a questo

$-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\$ è l'accelerazione di Coriolis normale alla direzione di ${\boldsymbol {\Omega }}$ (velocità angolare del sistema B) e di $\mathbf {v} _{\mathrm {B} }\$ (velocità del punto materiale nel sistema B). La forza di Coriolis quindi è una forza che fa deviare dalla traiettoria rettilinea che non fa lavoro e la cui azione è tanto maggiore quanto maggiore è $\mathbf {v} _{\mathrm {B} }$.

$-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\ .$ è nella stessa direzione del moto e dipende dalla variazione nel tempo della velocità angolare del sistema di riferimento ruotante. Se la velocità angolare è costante, come nel moto dei pianeti intorno al proprio asse, tale termine è nullo.

$-{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\ .$ è la cosidetta accelerazione centrifuga, infatti sviluppando i prodotti vettoriali, si può far vedere come sia sul piano passante per il centro di rotazione ma diretta verso l'esterno.

La forza netta sul punto materiale secondo gli osservatori sul sistema ruotante F_B = ma_B. Se le loro osservazione sono il risultato dell'applicazione della seconda legge della dinamica, debbono considerare che la forza addizionale F_app è presente, così che alla fine F_B = F_A + F_app. In poche parole, le forze apparenti dagli osservatori nel sistema B per fornire il comportamento previsto dalle leggi della dinamica è:

$\mathbf {F} _{\mathrm {app} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

Sistema di riferimento orbitante

Un sistema di riferimento orbitante ma con orientazione fissata B, mostrato a tre istanti differenti. I vettore unitari u_j, j = 1, 2, 3 non ruotano, ma mantengo una orientazione fissata, mentre l'origine del sistema di coordinate B si muove a velocità angolare costante ω attorno all'asse fisso Ω. AxL'asse Ω passa attraverso l'origine del sistema inerziale A, l'origine del sistema B è ad una distanza fissa R dall'origine del sistema inerziale A.

In questo esempio, supponiamo che il sietma di coordinate mobile B ruota su un cerchio di raggio R attorno all'origine del sistema inerziale fisso A, ma mantiene i suoi assi delle coordinate fissi in orientazione come mostrato nella figura a fianco. L'accelerazione di un punto materiale è quindi:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}$ $+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .$

$=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,$

Le sommatorie sono nulle in quanto i versori non hanno dipendenza dal tempo

Per esplicitare $\mathbf {a} _{AB}$, si consideri che l'origine del sistema B è posta rispetto ad A in:

$\mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,$

da questo la velocità dell'origine di B vale:

$\mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,$

infine l'accelerazione dell'origine di B vale:

$\mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}$ $=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)$ $=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\ .$

Quindi nel sistema di riferimento B deve essere introdotta una forza apparente, che ' diretta radialmente in fuori dal centro di rotazione:

$\mathbf {F} _{\mathrm {app} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\ ,$

di ampiezza:

$|\mathbf {F} _{\mathrm {app} }|=m\omega ^{2}R\ .$

Nel caso del sistema ruotante la forza centrifuga dipendeva dalla distanza dall'origine di B, nel sitema ruotante dipende dalla distanza del centro di B dal suo centro di rotazione. Quindi oggetti diversi che si trovano in B sentono la stessa forza centrifuga.

Argomento seguente: Dinamica dei sistemi di punti materiali