Matematica per le superiori/I monomi

Monomi

Definizione

Si dice monomio un'espressione algebrica costituita da un coefficiente e una parte letterale dove non compaiono addizioni e sottrazioni.

Esempio

$\left({\frac {7abc^{3}}{3x^{2}y}}\right)\left({\frac {2}{3m^{2}n}}\right)$ ma non ${\frac {5x^{2}}{3a+4b}}$

Monomio ridotto a forma normale

Definizione

Un monomio si dice ridotto a forma normale se viene espresso come prodotto di un unico fattore numerico e di fattori letterali, in cui ciascuna lettera compare una sola volta elevata ad un certo esponente.

Esempio

$-13axz^{3}$

Coefficiente e parte letterale

In un monomio ridotto a forma normale si può individuare

• il coefficiente, ossia il fattore numerico del monomio,
• la parte letterale, ossia quella parte del monomio formata dai fattori letterali coi loro esponenti.

Esempio

Nel monomio $-13axz^{3}$, $-13$ è il coefficiente, e $axz^{3}$ è la parte letterale.

Monomi simili

Definizione

Due monomi ridotti a forma normale si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale.

Esempio

I monomi $3ab^{2}$ e $9ab^{2}$ sono simili perché hanno la stessa parte letterale $ab^{2}$.

Somme di monomi simili

Definizione

La somma di due o più monomi simili, è pari ad un monomio simile ai dati avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

La somma di monomi non simili è invece un polinomio.

Esempio

$3x^{2}+4x^{2}=7x^{2}$

Monomio intero

Definizione

Un monomio ridotto in forma normale si dice intero se le lettere non figurano al denominatore.

Esempio

$12ab^{2}cde^{4}$ o ${\frac {13x^{2}y}{5\cdot 2}}$

Monomio fratto

Definizione

Un monomio ridotto a forma normale si dice fratto se vi sono lettere che compaiono a denominatore.

Esempio

${\frac {3abc}{xz^{4}}}$ ma non ${\frac {6xy}{3^{2}\cdot 2}}$

Operazioni tra monomi

Addizione algebrica

La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile ad essi, in cui il coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti dei singoli monomi. Quando i monomi non sono simili la somma non può essere applicata e si lascia l'espressione inalterata. Quando si ha un'espressione con più monomi si deve sempre cercare di sommare i termini simili fino ad arrivare ad una forma non più modificabile.

Addizione algebrica di monomi simili

L'addizione algebrica tra monomi simili è una operazione

$5b\,-3b\,+6b$

in quanto tutti i monomi hanno la stessa parte letterale $b$. Per poter svolgere l'operazione di somma si raccoglie a fattor comune la parte letterale, applicando all'inverso la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

$5b\,-3b\,+6b=b\cdot (+5\,-3\,+6)=8b$

un altro esempio:

${\frac {1}{2}}a\,-{\frac {5}{3}}a\,+6a=a\cdot ({\frac {1}{2}}\,-{\frac {5}{3}}\,+6)=a\cdot ({\frac {3-10+36}{6}})={\frac {29}{6}}a$

Il risultato ottenuto è un monomio simile a quelli dati e il suo coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti:

$2x^{2}y+5x^{2}y=7x^{2}y$

Addizione algebrica di monomi non simili tra loro

Quando i monomi non sono simili l'addizione algebrica non porta semplificazioni, l'espressione rimane inalterata ed il risultato non è più un monomio, ma un polinomio:

$3a-y+{\frac {2}{5}}z$

Addizione algebrica di monomi simili e non simili

La somma algebrica viene fatta solo tra monomi simili lasciando inalterati gli altri:

$2a+3x-3a+7xy+6a-2b=a\cdot (2-3+6)+3x+7xy-2b=5a+3x+7xy-2b$

questo procedimento viene anche detto riduzione dei termini simili.

Prodotto di monomi

Definizione

Il prodotto di monomi è pari a quel monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti, e per parte letterale i fattori letterali dei monomi di partenza elevati ciascuno ad un esponente pari alla somma degli esponenti con i quali ciascuna lettera figura nei monomi di partenza.

Esempio

$(2ab^{2})(3abc)=6a^{1+1}b^{2+1}c=6a^{2}b^{3}c.$

$\left({\frac {x^{2}y}{4}}\right)\left({\frac {x^{2}b}{2}}\right)={\frac {bx^{4}y}{8}}$

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Prodotto da due Monomi

Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei singoli monomi e come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali. Ogni fattore letterale ha l'esponente uguale alla somma degli esponenti che esso ha nei singoli monomi.

Considerando ad esempio il prodotto tra $5ab^{3}y^{2}$ e $-3a^{3}b^{5}$, il prodotto dei coefficienti è:

$(5)\cdot (-3)=-15$

mentre quello delle parti letterali è:

$ab^{3}y^{2}\cdot a^{3}b^{5}=a\cdot a^{3}\cdot b^{3}\cdot b^{5}\cdot y^{2}=a^{1+3}b^{3+5}y^{2}=a^{4}b^{8}y^{2}$

quindi il prodotto dei singoli monomi risulta essere

$5ab^{3}y^{2}\cdot (-3a^{3}b^{5})=-15a^{4}b^{8}y^{2}$

Altri esempi di moltiplicazione tra monomi:

$4ay\cdot 3a^{2}x=12a^{3}xy$

$-4x^{2}y^{2}\cdot -{\frac {1}{2}}x^{3}z=2x^{5}y^{2}z$

$2xy\cdot 3x^{2}a\cdot -x^{4}a^{3}b=-6x^{7}ya^{4}b$

Elevamento alla potenza

La potenza di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza di ciascun fattore letterale del monomio. Considerando il monomio $-2ab^{3}x^{2}$ calcolare il suo cubo vuol dire moltiplicare 3 volte per se stesso il monomio:

Esempio

$(-2ab^{3}x^{2})^{3}=(-2ab^{3}x^{2})\cdot (-2ab^{3}x^{2})\cdot (-2ab^{3}x^{2})$

che per le regole del prodotto viste sopra diventa:

$(-2ab^{3}x^{2})^{3}=-8a^{3}b^{9}x^{6}$

Altre potenze di monomi sono:

Esempio

$(2xy^{2})^{3}=2^{3}x^{3}(y^{2})^{3}=8x^{3}y^{6}$

$(-{\frac {1}{3}}x^{3}yz^{2})^{2}={\frac {1}{9}}x^{6}y^{2}z^{4}$

Divisione

In alcuni casi molto particolari, anche il quoziente di due monomi è un monomio:

Esempio

$2x^{2}y/xy=2x$

Questo accade però solo in casi molto particolari, cioè quando il grado del monomio dividendo è maggiore o uguale del monomio divisore e quando le lettere che compaiono nel divisore si trovano, con grado maggiore o uguale, anche nel dividendo. In generale, un monomio che contiene delle lettere non ha un inverso (rispetto alla moltiplicazione). Ad esempio, dato il monomio

$2xy$

non esiste nessun altro monomio che, moltiplicato per $2xy$, dia come risultato 1. Questo perché la moltiplicazione fra monomi può solo incrementare il numero di lettere coinvolte, e non può eliminarle.

Minimo comune multiplo

Per approfondire, vedi Minimo comune multiplo.

Minimo comune multiplo tra due monomi è definito come quel monomio di grado minimo che è divisibile per i due dati. I minimi comuni multipli tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.

Per determinare la parte letterale dell'm.c.m. tra due monomi si prendono tutte le lettere, comuni e non comuni, dei monomi con il loro massimo esponente.

Per quanto riguarda il coefficiente, per convenzione, si utilizza l'm.c.m. tra i coefficienti quando è possibile calcolarlo, altrimenti 1.

Esempio:

$m.c.m.(2x^{2}y^{2};3x^{3}yz^{2})=6x^{3}y^{2}z^{2}$

$m.c.m.(-{\frac {2}{3}}xy^{3}z^{4};3xy^{2}z^{5})=xy^{3}z^{5}$

Calcolo efficiente del mcm

La formula

$\operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCD} (a,b)}}$

è adeguata per calcolare il mcm per piccoli numeri.

Poiché (ab)/c = a(b/c) = (a/c)b, è possibile calcolare il mcm usando la formula precedente in modo più efficiente, dapprima utilizzando il fatto che b/c o a/c sono più semplici da calcolare rispetto alla divisione tra il prodotto ab e c: il fatto che c sia multiplo sia di a che di b consente di semplificare completamente il fattore c dalla frazione a/c oppure da b/c, prima di effettuare il prodotto ab.

Allora il mcm si può calcolare o così:

$\operatorname {mcm} (a,b)=\left({a \over \operatorname {MCD} (a,b)}\right)\cdot b$

oppure così:

$\operatorname {mcm} (a,b)=a\cdot \left({b \over \operatorname {MCD} (a,b)}\right)$

In questo modo, l'esempio precedente diventa:

$\operatorname {mcm} (21,6)={21 \over \operatorname {MCD} (21,6)}\cdot 6={21 \over 3}\cdot 6=7\cdot 6=42.$

Anche se i numeri sono grandi e non sono facilmente scomponibili in fattori, il MCD può essere calcolato velocemente usando l'algoritmo di Euclide.

Come ricordarsi di semplificare prima di moltiplicare

Il metodo che segue rende impossibile dimenticarsi di semplificare prima di moltiplicare. Verrà illustrato con un esempio: come trovare il mcm(12, 8).

• Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo: ${12 \over 8}={3 \over 2}.$

• Si esegue la "moltiplicazione a croce": $12\times 2=8\times 3.$

• Il prodotto 12 × 2 = 8 × 3 è il mcm: 24.

Metodo di calcolo alternativo

Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto in un modo unico come prodotto di fattori primi. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.

Per esempio:

$90=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 9\cdot 5$

Il numero composto 90 è costituito da un elemento uguale al numero primo 2, due elementi uguali al numero primo 3 e un elemento uguale al numero primo 5.

Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.

Per esempio: calcolare il mcm(45, 120, 75).

$45\;\,=3^{2}\cdot 5^{1}$

$120=2^{3}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1}$

$75\;\,=3^{1}\cdot 5^{2}$

Il mcm è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

$\operatorname {mcm} (45,120,75)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=8\cdot 9\cdot 25=1800.$

Questo è il metodo che di solito viene insegnato nella scuola italiana.

Esempi

• Calcolo di mcm(3, 5, 7 )

i tre numeri sono primi, quindi

mcm(3,5,7)=3·5·7=105

• Calcolo di mcm(2,25,7,12):

i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi

7=7

12=3·2·2=3·2²

25=5·5=5²

quindi risulta

mcm(2,25,7,12)=mcm(3,4,7,25)=2²·3·5²·7=2100.

i fattori primi 2 e 5 sono stati presi con esponente massimo 2.

Analogamente si ragiona se si vuole eseguire il mcm tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori (monomi, binomi, trinomi..., comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri, ricordando che mcm(4a,bc) non è detto che sia 4abc.

Esempio:

• Calcolo di mcm(2np, (p+q)², 4n²(q+p)³).

Le espressioni sono già indicate come prodotti di espressioni algebriche semplici e allora il loro mcm risulta

mcm(2np, (p+q)², 4n²(q+p)³)=mcm(4,n²,p,(p+q)³)

• Calcolo di mcm(x³, ab(x²-2x+1), (1-x)).

Si ha che

x³= x³

ab(x²-2x+1) = ab(x-1)² = ab(1-x)²

(1-x)= -(x-1).

E quindi il mcm in questo caso è

mcm(x³, ab(x²-2x+1), (1-x))=mcm(ab,x³(1-x)²) =mcm(ab,x³(x-1)²)

Massimo comune divisore

Per approfondire, vedi Massimo comune divisore.

Il massimo comune divisore tra i due numeri a e b viene indicato con MCD(a, b), o più semplicemente (a, b). Ad esempio, MCD(12, 18) = 6, MCD(−4, 14) = 2 e MCD(5, 0) = 5. Due numeri si dicono coprimi o primi tra loro se il loro massimo comun divisore è uguale a 1. Per esempio, i numeri 9 e 28 sono primi tra loro (ma non sono numeri primi). Il massimo comune divisore è utile per ridurre una frazione ai minimi termini.

Calcolo del M.C.D (Massimo Comune Divisore)

Il massimo comune divisore può essere calcolato, in linea di principio, determinando la scomposizione in fattori primi dei due numeri dati e moltiplicando i fattori comuni, considerati una sola volta con il loro minimo esponente. Per esempio, per calcolare il MCD(18,84) si scompongono dapprima i due numeri in fattori primi, ottenendo 18 = 2·3² e 84 = 2²·3·7, e poi si considerano i fattori comuni con esponente più piccolo ai due numeri, 2 e 3: entrambi compaiono con esponente minimo uguale a 1, e quindi si ottiene che MCD(18,84)=6. Se non ci sono fattori primi comuni, il MCD è 1 e i due numeri sono detti coprimi; ad esempio MCD(242,375)=1.

Questo metodo è utilizzabile, nella pratica, solo per numeri molto piccoli: la scomposizione in fattori primi di un numero richiede in generale troppo tempo.

Un metodo molto più efficiente è fornito dall'algoritmo di Euclide: si divide 84 per 18 ottenendo un quoziente di 4 e un resto di 12. Poi si divide 18 per 12 ottenendo un quoziente di 1 e un resto di 6. Infine si divide 12 per 6 ottenendo un resto di 0, il che significa che 6 è il massimo comune divisore.

Proprietà

• Ogni divisore comune di a e b è un divisore di MCD(a, b).

• MCD(a, b), dove a e b non sono contemporaneamente uguali a zero, può essere definito in modo alternativo ed equivalente come il più piccolo intero positivo d che può essere scritto nella forma d = a·p + b·q dove p e q sono interi. Questa espressione viene chiamata identità di Bézout.

• Se a divide il prodotto b·c, e MCD(a, b) = d, allora a/d divide c.

• Se m è un intero non nullo, allora MCD(m·a, m·b) = m·MCD(a, b) e MCD(a + m·b, b) = MCD(a, b). Se m è un divisore comune diverso da zero di a e b, allora MCD(a/m, b/m) = MCD(a, b)/m.

• Il MCD è una funzione moltiplicativa nel senso seguente: se a₁ e a₂ sono primi tra loro, allora MCD(a₁·a₂, b) = MCD(a₁, b)·MCD(a₂, b).

• Il MCD di tre numeri può essere calcolato come MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c) = MCD(a, MCD(b, c)). Quindi il MCD è una operazione associativa.

• MCD(a, b) è legato al minimo comune multiplo mcm(a, b): si ha

MCD(a, b)·mcm(a, b) = a·b.

Questa formula viene usata spesso per calcolare il minimo comune multiplo: si calcola prima il MCD con l'algoritmo di Euclide e poi si divide il prodotto dei due numeri dati per il loro MCD.

• Vale la seguente proprietà distributiva: rolling

MCD(a, mcm(b, c)) = mcm(MCD(a, b), MCD(a, c))

mcm(a, MCD(b, c)) = MCD(mcm(a, b), mcm(a, c)).

• È utile definire MCD(0, 0) = 0 e mcm(0, 0) = 0 perché in questo modo i numeri naturali diventano un reticolo completo distributivo con MCD e mcm come operazioni. Questa estensione è compatibile anche con la generalizzazione per gli anelli commutativi data più sotto.

• In un sistema di coordinate cartesiane il MCD(a, b) può essere interpretato come il numero di punti con coordinate intere sulla retta che passa per i punti (0, 0) e (a, b), escludendo il punto (0, 0).

Il MCD in anelli commutativi

Il massimo comune divisore può essere definito in maniera più generale per gli elementi di un anello commutativo arbitrario.

Se R è un anello commutativo e a e b appartengono a R, allora un elemento d di R è chiamato divisore comune di a e b se divide sia a che b (e cioè se esistono due elementi x e y in R tali che d·x = a e d·y = b). Se d è un divisore comune di a e b, e ogni divisore comune di a e b divide d, allora d viene chiamato un massimo comun divisore di a e b.

Si noti che, secondo questa definizione, due elementi a e b possono avere più di un massimo comun divisore, oppure nessuno. Ma se R è un dominio di integrità allora due qualsiasi MCD di a e b devono essere elementi associati. Inoltre, se R è un dominio a fattorizzazione unica, allora due qualunque elementi hanno un MCD. Se R è un anello euclideo allora i MCD possono essere calcolati con una variante dell'algoritmo euclideo.

Quello che segue è un esempio di un dominio di integrità con due elementi che non ammettono un MCD:

$R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}],\quad a=4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}),\quad b=(1+{\sqrt {-3}})\cdot 2$

Gli elementi $1+{\sqrt {-3}}$ e $2$ sono due "divisori comuni massimali" (cioè ogni divisore comune che è multiplo di 2 è associato a 2, e lo stesso vale per $1+{\sqrt {-3}}$), ma non sono associati, quindi non esiste il massimo comun divisore di a e b.

Analogamente alla proprietà di Bezout si può considerare, in un qualunque anello commutativo, la collezione di elementi nella forma $pa+qb$, dove p e q variano all'interno dell'anello. Si ottiene l'ideale generato da a e b, che viene denotato semplicemente con $(a,b)$. In un anello i cui ideali sono tutti principali (un anello ad ideali principali, "principal ideal domain" o PID), questo ideale sarà identico all'insieme dei multipli di qualche elemento d dell'anello; allora questo d è un massimo comun divisore di a e b. Ma l'ideale $(a,b)$ può essere utile anche quando non c'è nessun MCD di a e b (in effetti, Ernst Kummer usò questo ideale come sostituto del MCD nel suo studio dell'ultimo teorema di Fermat, anche se lo considerò come l'insieme di multipli di un qualche ipotetico, o ideale, elemento d dell'anello, da qui proviene il termine ideale).

Grado complessivo di un monomio

Definizione

Dato un monomio intero ridotto a forma normale, si dice grado complessivo di quel monomio la somma degli esponenti delle sue lettere, precisando che le lettere prive di esponente vanno considerate elevate ad esponente pari a $1$.

Esempio

Il monomio $-13axz^{3}$ ha grado complessivo pari a $1+1+3=5$

Grado rispetto ad una lettera

Definizione

Dato un monomio intero ridotto a forma normale, si dice grado rispetto ad una lettera l'esponente a cui è elevata quella lettera.

Esempio

Dato il monomio $-13axz^{3}$, il grado rispettivo alla $z$ è pari a $3$.