Equazioni differenziali alle derivate parziali
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Indice del libro
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Introduzione
- Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
- L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
- Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
- Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
- Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
- L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
- L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
- Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
- Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
- Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
- L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
- Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
- L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
- L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
- L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
- L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
- Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
- Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
- Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
- Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
- Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
- ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
- Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
- Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
- Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
- Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
- Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
- Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
- Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
- Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
- Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
- Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
- La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
- Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
- Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
- Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
- Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
- Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
- L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
- Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
- La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
- Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
- Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
- L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
- L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
- Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
- IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
- Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
- La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
- Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
- Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
- Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
- Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
- ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
Questo corso tratta le principali equazioni alle derivate parziali importanti per la fisica: equazione delle onde, equazione del calore, equazione di Laplace. Sono trattate approfonditamente le funzioni armoniche e le loro proprietà, e la soluzione dell'equazione di Laplace. Inoltre contiene elementi di teoria delle distribuzioni utili per la soluzione di questi problemi.
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