Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh

Nel modulo precedente si è messo in evidenza lo stretto legame che c'è tra i problemi al bordo e i problemi agli autovalori. Ora è necessario occuparsi di come trovare gli autovalori dell'operatore laplaciano e chiedersi se le corrispondenti autofunzioni possano costituire un sistema ortonormale completo o meno.

Delle importanti considerazioni in tal senso possono essere fatte grazie a una quantità detta quoziente di Rayleigh e definita come segue:

${\frac {\parallel \nabla u\parallel _{{\mathcal {L}}^{2}(\Omega )}^{2}}{\parallel u\parallel _{{\mathcal {L}}^{2}(\Omega )}}}={\frac {\int _{\Omega }\mid \nabla u\mid ^{2}dx}{\int _{\Omega }\mid u\mid ^{2}dx}}$

Consideriamo $Y={\mathcal {D}}(\Delta _{D})=\left\lbrace w\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }}),\,w\neq 0\colon w\mid _{\partial \Omega }=0\right\rbrace$, anche detto spazio delle funzioni di prova per il problema di Dirichlet.

Teorema (1)

Sia $u\in Y$ un punto di minimo per il quoziente di Rayleigh, ovvero:

$m={\frac {\parallel \nabla u\parallel ^{2}}{\parallel u\parallel ^{2}}}=\min _{w\in Y}{\frac {\parallel \nabla w\parallel ^{2}}{\parallel w\parallel ^{2}}}$

Allora $m$ è il primo autovalore di $\Delta _{D}$ con autofunzione corrispondente $u(x)$.

Il teorema appena enunciato è di fondamentale importanza nel tentativo di rispondere alla domanda che ci si era posti a inizio modulo. Infatti ora sappiamo che per poter ricavare il primo autovalore dell'operatore laplaciano è possibile cercare il punto di minimo del quoziente di Rayleigh. Rimane però aperta una questione: trovato il primo degli autovalori, esiste un modo per ricavare anche gli autovalori successivi? Effettivamente la risposta a questa domanda è affermativa, grazie al teorema seguente:

Teorema (2)

Siano $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1}$ i primi $n-1$ autovettori di $\Delta _{D}$ scelti tra loro ortogonali. Sia

$Y_{n}=\left\lbrace w\in Y\colon \left\langle w\mid v_{i}\right\rangle =0,\,\forall \,i=1,\dots ,n-1\right\rbrace$

Se esiste $v_{n}$ che minimizza il quoziente di Rayleigh in $Y_{n}$, ovvero:

$m_{n}=\min _{w\in Y_{n}}{\frac {\parallel \nabla w_{n}\parallel ^{2}}{\parallel w_{n}\parallel ^{2}}}={\frac {\parallel \nabla v_{n}\parallel ^{2}}{\parallel v_{n}\parallel ^{2}}}$

Allora l'n-simo autovalore di $\Delta _{D}$ coincide esattamente con il valore $m_{n}=\lambda _{n}$ e la corrispondente autofunzione associata sarà $v_{n}$.

I due teoremi enunciati hanno una portata estremamente rilevante: grazie a essi non solo possiamo concludere che è possibile determinare autovalori e autofunzioni dell'operatore laplaciano, ma abbiamo anche una maniera esplicita per poterlo fare. Ci rimane ora da chiarire se le autofunzioni che determiniamo nella maniera appena illustrata siano o meno un sistema ortonormale completo.

Teorema (3 Di monotonia degli autovalori rispetto all'insieme di definizione)

Sia $\Omega _{1}\subset \Omega _{2}$, allora $\lambda _{n}(\Omega _{1})\geq \lambda _{n}(\Omega _{2})\,\forall \,n$

Questo teorema porta immediatamente a un altro teorema che garantisce che gli autovalori che si possono trovare sono effettivamente infiniti:

Teorema (4)

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto e limitato, con frontiera regolare. Allora l'operatore laplaciano per cui è definito il problema agli autovalori:

${\begin{cases}-\Delta u=\lambda u\\u\mid _{\partial \Omega }=0\end{cases}}$

Ammette una successione infinita di autovalori con $\lambda _{n}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}+\infty$.

Il complesso dei risultati ottenuti in questo modulo ci permette di concludere che effettivamente la successione di autofunzioni dell'operatore di Dirichlet, ma analogamente si potrà dire per quello di Neumann e di Robin, costituiscono un sistema ortonormale completo

Teorema (5)

Le autofunzioni del problema di Dirichlet sono un sistema ortonormale completo su ${\mathcal {L}}^{2}(\Omega )$.

I risultati ottenuti in questo e nel modulo precedente sono di estrema importanza perché permettono di concludere che: i problemi al bordo considerati possono essere ricondotti a un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano, il quale ammette una successione infinita di autofunzioni che costituisce un sistema ortonormale completo sullo spazio delle funzioni modulo-quadro integrabili e possono essere usate per sviluppare in serie di Fourier le soluzioni dei problemi al bordo considerati.