Equazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier

Per la risoluzione delle equazioni presentate all'inizio del corso è necessario introdurre un nuovo strumento di calcolo: la trasformata di Fourier. Innanzitutto si nota che presa la funzione $e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$, la sua derivata rispetto alla componente $x_{j}$ ha un comportamento piuttosto particolare, infatti:

${\frac {\partial e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}}{\partial x_{j}}}=ik_{j}e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$

Ovvero, la derivata parziale si comporta in maniera molto semplice e si osserva che rispetto a essa la funzione $e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$ è in realtà una autofunzione, con autovalore associato pari a $ik_{j}$. Consideriamo ora un elemento $\alpha \in \mathbb {N} ^{n},\mathbb {N} =\left\lbrace 0,1,2,\dots \right\rbrace$, che corrisponde a una stringa di n numeri che chiameremo multiindice. La quantità

$\mid \alpha \mid =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}$

si dice modulo del multiindice $\alpha$. Inoltre si ha che:

$\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!$

La notazione dei multiindici è estremamente importante in analisi matematica, ed è utilizzata per indicare particolari elementi, le derivate parziali e gli operatori differenziali:

$\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\xi _{2}^{\alpha _{2}}\dots \xi _{n}^{\alpha _{n}},\;\xi \in \mathbb {R} ^{n}$

$\partial ^{\alpha }={\frac {\partial ^{\mid \alpha \mid }}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\dots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}$

${\mathcal {P}}(\partial )=\sum _{\mid \alpha \mid \leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }$

Un esempio di operatore differenziale agente su $e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$:

${\mathcal {P}}(\partial )e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}=\sum _{\mid \alpha \mid \leq n}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}=$

$=\sum c_{\alpha }(ik)^{\alpha }e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}={\mathcal {P}}(ik)e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$

Prendiamo ad esempio il laplaciano: esso è un operatore differenziale di quelli appena definiti. Dunque, posto ${\mathcal {P}}(\partial )=-\Delta$, si ha:

$-\Delta \left(e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}\right)=-\left[(ik_{1})^{2}+(ik_{2})^{2}+\dots +(ik_{n})^{2}\right]e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}=$

$=\left[k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+\dots +k_{n}^{2}\right]e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}=\mid {\underline {k}}\mid ^{2}e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$

Quindi $e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$ (onde piane) sono particolari autofunzioni dell'operatore laplaciano; le sfruttiamo per definire $\Psi (x)$, combinazione lineare di onde piane:

$\Psi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}A(k)dk,\;A(k){\text{ funzione peso}}$

L'integrale sopra definito altro non è che la trasformata di Fourier di $A(k)$. Applichiamo l'operatore ${\mathcal {P}}(\partial )$ alla $\Psi (x)$:

${\mathcal {P}}(\partial )\Psi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {P}}(\partial )e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}A(k)dk=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {P}}(ik)e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}A(k)dk$

Dunque l'effetto di ${\mathcal {P}}(\partial )$ è unicamente quello di modificare il peso di $\Psi (x)$ da $A(k)$ a ${\mathcal {P}}(ik)A(k)$. Nel caso in cui ${\mathcal {P}}(\partial )=-\Delta$ si ha che:

$-\Delta \Psi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mid k\mid ^{2}A(k)e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}dk$