Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier

Nei moduli precedenti abbiamo ricavato l'equazione delle onde nel caso monodimensionale. Ci chiediamo come sia possibile ricavare, sempre applicando delle opportune ipotesi e semplificazioni, l'equazione del calore nel caso monodimensionale:

$u_{t}-Du_{xx}=0$

Si supponga che il sistema studiato sia caratterizzato da una quantità $q$ tale da soddisfare l'equazione di continuità:

${\frac {\partial q}{\partial t}}+divJ=0$

Integrando su un volume e applicando il teorema della divergenza si ottiene:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }qd^{3}{\overrightarrow {x}}=-\int _{\partial \Omega }{\underline {J}}{\hat {n}}d\sigma$

Dal momento che l'equazione del calore, soprattutto nel caso n-dimensionale, rappresenta un'equazione di diffusione, si assume che:

$q=\rho (x;t),\;{\underline {J}}=\rho (x;t){\underline {v}}$

L'equazione di continuità può essere riscritta come:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+div(\rho {\underline {v}})=0$

In realtà, il campo di velocità non è noto e non si possono fare delle ipotesi su di esso; pertanto è necessario introdurre un'ipotesi per poter fissare il valore di ${\underline {J}}$. Tale ipotesi va sotto il nome di legge di Fick ed è rappresentata da:

${\underline {J}}=-D{\underline {\nabla }}\rho ,\;D\in \mathbb {R}$

A livello macroscopico la legge di Fick definisce una quantità ${\underline {J}}$, che si oppone alla concentrazione, direttamente proporzionale al gradente della densità di soluto $\rho$. Usando la legge di Fick, è possibile riscrivere l'equazione di cui sopra come:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+div(-D\nabla \rho )=0$

Da cui segue l'equazione di Fourier per la diffusione:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}-D\nabla ^{2}\rho =0$