Vogliamo ora studiare le distribuzioni da un punto di vista più analitico, occupandoci delle operazioni tra distribuzioni. Innanzitutto definiamo il prodotto di una distribuzione per una funzione :
Definizione
Se
f
=
cost
{\displaystyle f={\text{cost}}}
f
δ
0
(
ϕ
)
=
D
e
f
.
δ
0
(
f
ϕ
)
=
[
f
ϕ
]
(
0
)
=
f
(
0
)
ϕ
(
0
)
{\displaystyle f\delta _{0}(\phi ){\underset {Def.}{=}}\delta _{0}(f\phi )=\left[f\phi \right](0)=f(0)\phi (0)}
Dunque se
T
≡
δ
{\displaystyle T\equiv \delta }
ϕ
∈
D
(
R
)
{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}
f
∈
C
(
R
)
{\displaystyle f\in C(\mathbb {R} )}
Non è possibile definire il prodotto tra distribuzioni, dal momento che non è possibile dare una definizione consistente per questa operazione. Occupiamoci quindi della derivazione di distribuzioni.
Definizione
Sia
T
∈
D
(
R
n
∣
∂
Ω
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}\mid _{\partial \Omega })}
∂
α
T
f
(
ϕ
)
=
(
−
1
)
∣
α
∣
T
f
(
∂
α
ϕ
)
{\displaystyle \partial ^{\alpha }T_{f}(\phi )=(-1)^{\mid \alpha \mid }T_{f}(\partial ^{\alpha }\phi )}
Dalla definizione appena data, che per altro è una generalizzazione della formula di Green, è possibile notare come una distribuzione sia derivabile un numero qualsiasi di volte. Inoltre si osserva che la definizione di derivata di una distribuzione è una proprietà globale, a differenza di quella per una funzione che è locale. Studiamo con il seguente esempio un caso abbastanza particolare.
Sia
T
=
θ
(
x
)
=
{
1
,
x
≥
0
0
,
x
<
0
,
∈
L
l
o
c
1
(
R
)
{\displaystyle T=\theta (x)={\begin{cases}1,\;x\geq 0\\0,\;x<0\end{cases}},\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )}
La distribuzione
T
θ
(
ϕ
)
{\displaystyle T_{\theta }(\phi )}
T
θ
(
ϕ
)
=
θ
(
ϕ
)
=
∫
R
θ
(
x
)
ϕ
(
x
)
d
x
{\displaystyle T_{\theta }(\phi )=\theta (\phi )=\int _{\mathbb {R} }\theta (x)\phi (x)dx}
Calcoliamone la derivata applicando la definizione appena data:
d
d
x
T
θ
(
ϕ
)
=
(
−
1
)
T
(
d
d
x
ϕ
)
=
(
−
1
)
∫
R
θ
(
x
)
ϕ
′
(
x
)
d
x
=
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}T{\theta }(\phi )=(-1)T\left({\frac {d}{dx}}\phi \right)=(-1)\int _{\mathbb {R} }\theta (x)\phi ^{\prime }(x)dx=}
=
(
−
1
)
[
∫
−
∞
0
0
ϕ
′
(
x
)
d
x
+
∫
1
+
∞
ϕ
′
(
x
)
d
x
]
=
{\displaystyle =(-1)\left[\int _{-\infty }^{0}0\phi ^{\prime }(x)dx+\int _{1}^{+\infty }\phi ^{\prime }(x)dx\right]=}
=
−
∫
1
+
∞
ϕ
′
(
x
)
d
x
=
−
(
ϕ
(
+
∞
)
−
ϕ
(
0
)
)
=
ϕ
(
0
)
=
δ
0
(
ϕ
)
{\displaystyle =-\int _{1}^{+\infty }\phi ^{\prime }(x)dx=-\left(\phi (+\infty )-\phi (0)\right)=\phi (0)=\delta _{0}(\phi )}
Quindi
d
d
x
T
θ
(
ϕ
)
=
δ
0
(
ϕ
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}T_{\theta }(\phi )=\delta _{0}(\phi )}
Quanto appena visto può essere generalizzato dal seguente teorema.
Sia
f
∈
C
1
(
R
∖
{
x
0
}
)
{\displaystyle f\in C^{1}\left(\mathbb {R} \setminus \left\lbrace x_{0}\right\rbrace \right)}
T
f
{\displaystyle T_{f}}
T
f
′
(
ϕ
)
=
∫
R
{
f
′
}
ϕ
d
x
+
δ
x
0
(
ϕ
)
[
f
]
(
x
0
)
{\displaystyle T_{f}^{\prime }(\phi )=\int _{\mathbb {R} }\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace \phi dx+\delta _{x_{0}}(\phi )\left[f\right](x_{0})}
dove
[
f
]
{\displaystyle \left[f\right]}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
{
f
′
}
=
{
f
′
(
x
)
,
∀
x
≠
x
0
c
o
s
t
,
x
=
x
0
{\displaystyle \left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace ={\begin{cases}f^{\prime }(x),\,\forall x\neq x_{0}\\cost,\,x=x_{0}\end{cases}}}
Applicando la definizione e svolgendo i conti si ottiene:
T
f
′
(
ϕ
)
=
(
−
1
)
T
f
(
ϕ
′
)
=
(
−
1
)
[
∫
−
∞
x
0
d
ϕ
′
d
x
+
∫
x
0
+
∞
f
ϕ
′
d
x
]
=
{\displaystyle T_{f}^{\prime }(\phi )=(-1)T_{f}(\phi ^{\prime })=(-1)\left[\int _{-\infty }^{x_{0}}d\phi ^{\prime }dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }f\phi ^{\prime }dx\right]=}
=
−
[
−
∫
−
∞
x
0
f
′
ϕ
d
x
+
f
(
x
0
−
)
ϕ
(
x
0
)
−
∫
x
0
+
∞
f
′
ϕ
d
x
−
f
(
x
0
+
)
ϕ
(
x
0
)
]
=
{\displaystyle =-\left[-\int _{-\infty }^{x_{0}}f^{\prime }\phi dx+f(x_{0}^{-})\phi (x_{0})-\int _{x_{0}}^{+\infty }f^{\prime }\phi dx-f(x_{0}^{+})\phi (x_{0})\right]=}
=
∫
R
{
f
′
}
ϕ
d
x
+
ϕ
(
x
0
)
[
f
(
x
0
+
)
−
f
(
x
0
−
)
]
{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} }\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace \phi dx+\phi (x_{0})\left[f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})\right]}
Un'interessante osservazione si può fare calcolando le derivate della
δ
{\displaystyle \delta }
Applicando la definizione si ha:
δ
x
0
′
(
ϕ
)
=
−
δ
x
0
(
ϕ
′
)
=
−
ϕ
′
(
x
0
)
{\displaystyle \delta _{x_{0}}^{\prime }(\phi )=-\delta _{x_{0}}(\phi ^{\prime })=-\phi ^{\prime }(x_{0})}
δ
x
0
′
′
(
ϕ
)
=
ϕ
′
′
(
x
0
)
{\displaystyle \delta _{x_{0}}^{\prime \prime }(\phi )=\phi ^{\prime \prime }(x_{0})}
δ
x
0
α
(
ϕ
)
=
(
−
1
)
∣
α
∣
ϕ
(
x
0
)
{\displaystyle \delta _{x_{0}}^{\alpha }(\phi )=(-1)^{\mid \alpha \mid }\phi (x_{0})}
Si osserva che la distribuzione di Dirac e tutte le sue derivate hanno per supporto
{
x
0
}
{\displaystyle \left\lbrace x_{0}\right\rbrace }
La classe delle funzioni con supporto
{
x
0
}
{\displaystyle \left\lbrace x_{0}\right\rbrace }
δ
x
0
(
ϕ
)
{\displaystyle \delta _{x_{0}}(\phi )}
Definizione
=f(0)\phi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf980dffa73b75ec0647d6f7894d4f28d65ff48)
![{\displaystyle =(-1)\left[\int _{-\infty }^{0}0\phi ^{\prime }(x)dx+\int _{1}^{+\infty }\phi ^{\prime }(x)dx\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbe93d33c6975baa38e4ed2d46e0d1507a96cc5)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a022c8573638175eb6df31cd716eaec2bbc181c)
![{\displaystyle \left[f\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e876eb2aa5ec9002a1d5244a1b32195dbbd68a16)
![{\displaystyle T_{f}^{\prime }(\phi )=(-1)T_{f}(\phi ^{\prime })=(-1)\left[\int _{-\infty }^{x_{0}}d\phi ^{\prime }dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }f\phi ^{\prime }dx\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9469df2ed28fba9dabcf94e897aa02157a940bf)
![{\displaystyle =-\left[-\int _{-\infty }^{x_{0}}f^{\prime }\phi dx+f(x_{0}^{-})\phi (x_{0})-\int _{x_{0}}^{+\infty }f^{\prime }\phi dx-f(x_{0}^{+})\phi (x_{0})\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9275d065a27c8040b9d03c594355ffe6d462f1b)
![{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} }\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace \phi dx+\phi (x_{0})\left[f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2217d4b3d99053dec189e1887eeb2088001efdb)
