Equazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval

Nei moduli precedenti sono stati trovati gli autovalori e gli autovettori per l'operatore ${\hat {\mathcal {L}}}$ nel caso di condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann:

• per condizioni al bordo di Dirichlet:

  $\lambda _{n}=\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2},\;f_{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left(k_{n}x\right),\,n\geq 1$

• per condizioni al bordo di Neumann:

  $\lambda _{n}=\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2},\;f_{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left(k_{n}x\right),\,n\geq 0$

Avendo poi osservato che la successione degli autovettori, in entrambi i casi, costituiva un sistema ortonormale completo. Anche per ${\hat {\mathcal {L}}}_{R}$ (ovvero con condizioni al bordo di Robin), seppur non si sia in grado di fare esattamente i conti, si potrà concludere che la $\left\lbrace f_{n}\right\rbrace _{n=1}^{+\infty }$ costituisce un sistema ortonormale completo. Questa proprietà degli autovalori discende dal seguente teorema.

Sia $\left\lbrace f_{n}\right\rbrace _{n=1}^{+\infty }$ una successione di autovettori ortonormali nello spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$, nel caso in esame $L^{2}$, e siano $c_{1},c_{2},\dots ,c_{N}$ dei coefficienti numerici. Allora:

$\parallel f-\sum _{n=1}^{N}c_{n}f_{n}\parallel \geq \parallel f-\sum _{n=1}^{N}\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle f_{n}\parallel$

I coefficienti $\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle$ si chiamano coefficienti di Fourier di $f$, rispetto a $\left\lbrace f_{n}\right\rbrace _{n=1}^{+\infty }$.

Il teorema afferma che nell'approssimare $f$ con una somma parziale, l'errore minimo che si introduce è quello in cui l'approssimazione è data in sviluppo in serie di Fourier. Un altro importante punto da sottolineare è il seguente: in virtù del teorema appena enunciato è possibile concludere che la serie $\sum _{n=1}^{N}\mid \left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \mid ^{2}$ converge, ma non è detto (a priori) che essa converga a $\parallel f\parallel ^{2}$. Vediamo ora la dimostrazione del teorema.

Si ha che:

$\parallel f-\sum _{n=1}^{N}c_{n}f_{n}\parallel ^{2}=\int _{a}^{b}\left(f-\sum _{n=1}^{N}c_{n}f_{n}\right)^{2}dx=$

$=\int _{a}^{b}f^{2}dx-2\sum _{n=1}^{N}c_{n}\int _{a}^{b}ff_{n}dx+\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}c_{n}c_{m}{\underset {\delta _{n,m}}{\underbrace {\int _{a}^{b}f_{n}f_{m}dx} }}=$

$=\parallel f\parallel ^{2}-2\sum _{n=1}^{N}c_{n}\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle +\sum _{n=1}^{N}c_{n}^{2}=\parallel f\parallel ^{2}+\sum _{n=1}^{N}\left(c_{n}-\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \right)^{2}-\sum _{n=1}^{N}\left(\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \right)^{2}\geq$

$\geq \parallel f\parallel ^{2}-\sum _{n=1}^{N}\left(\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \right)^{2}=\parallel f-\sum _{n=1}^{N}\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle f_{n}\parallel ^{2}\geq 0$

Quindi è possibile concludere che:

$\parallel f-\sum _{n=1}^{N}c_{n}f_{n}\parallel \geq \parallel f-\sum _{n=1}^{N}\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle f_{n}\parallel$

Concludiamo questo modulo riprendendo l'osservazione fatta in precedenza: il teorema appena dimostrato permette di concludere che $\forall f\in {\mathcal {H}}$ la serie dei suoi coefficienti di Fourier converge. Tuttavia non è possibile affermare, a priori, che essa converga a $\parallel f\parallel$: affinché ciò sia vero è necessario che la successione $\left\lbrace f_{n}\right\rbrace _{n=1}^{+\infty }$ sia un sistema ortonormale completo. In tal caso vale l'identità di Parseval:

$\parallel f\parallel ^{2}=\sum _{n=1}^{+\infty }\mid \left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \mid ^{2}$

Si osservi anche che per poter portare avanti il discorso appena fatto non è stato necessario lavorare con un particolare spazio di Hilbert, ma è stato sufficiente usare la nozione di norma, e le sue proprietà, in uno spazio di Hilbert: questo a indicare l'estrema generalità di quanto appena fatto.