Equazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt

Nei moduli precedenti abbiamo visto che il problema della risoluzione di ${\mathcal {L}}u=f$ può essere pensato come un problema di inversione dell'operatore ${\mathcal {L}}$ e, usando questa interpretazione, ottenere la funzione di Green per l'operatore di Sturm-Liouville:

${\mathcal {G}}u(x)=\int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(xy)u(y)dy$

Questa strategia risolutiva in realtà è un caso particolare, ottenuto partendo da una forma molto più generale:

$Tu(x)=\int _{\Omega }K(xy)u(y)dy$

Con $\Omega$ compatto in $\mathbb {R} ^{n}$ e $K:\Omega \times \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$. L'operatore appena scritto prende il nome di operatore di Hilbert-Schmidt. Il seguente teorema dà una caratterizzazione più dettagliata di questo operatore.

Teorema

Sia $K(xy)$ continua in $\left[0,L\right]\times [\left[0,L\right]$ e sia ${\mathcal {H}}=L^{2}(\left[0,L\right])$. Allora:

• $T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ è compatta;
• se $u\in {\mathcal {H}}\rightarrow \,Tu$ è continua e $Tu\in C^{0}([0,L])$;
• se $K(xy)=K(yx)$, ovvero se il nucleo integrale dell'operatore di Hilbert-Schmidt è simmetrico, allora $T$ è simmetrica in ${\mathcal {H}}$.

Dimostrazione

Sia $u\in {\mathcal {H}}$. Dalla disuguaglianza di Holder segue che:

$\int _{0}^{L}1\mid u(y)\mid dy\leq \left(\int _{0}^{L}1^{2}dy\right)^{\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{L}\mid u(y)\mid ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=L^{\frac {1}{2}}\parallel u\parallel _{\mathcal {H}}$

È dunque possibile controllare una norma in $L^{1}$, cioè quella di $\mid u(y)\mid$, con una norma su un limitato di $L^{2}$, cioè quella di $\parallel u\parallel$. Sia ora $v=Tu=\int _{0}^{L}K(xy)f(y)dy$, con $K$ uniformemente continua su $[0,L]\times [0,L]$. Dunque si ha che:

$\forall \,\epsilon >0\;\exists \,\delta \,\colon \,Se\,x,z\in [0,L],\,\mid x-z\mid <\delta ,\;\alpha =\max _{y\in [0,L]}\mid K(xy)-K(yz)\mid <\epsilon$

Dunque si ha che:

$\mid v(x)-v(z)\mid \leq \alpha \int _{0}^{L}u(y)dy\leq \epsilon L^{\frac {1}{2}}\parallel u\parallel _{\mathcal {H}},\;\forall \,x,z\in [0,L],\,\mid x-z\mid <\delta$

Si è dunque provato che $Tu$ è continua; in realtà si osserva che essa è uniformemente continua, dunque si ha:

$\max _{x\in [0,L]}v(x)\leq \max _{x,y\in [0,L]}\mid K(xy)\mid \int _{0}^{L}\mid u(y)\mid dy\leq cost\parallel u\parallel _{\mathcal {H}}^{2}$

È dunque possibile concludere che:

$\parallel Tu\parallel _{\mathcal {H}}=\left[\int _{0}^{L}\mid v(x)\mid ^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}\leq cost\parallel u\parallel$

Ovvero che $T$ è limitato.

Si consideri ora una famiglia ${\mathcal {F}}$ di funzioni limitate su ${\mathcal {H}}$. Sia $\parallel u\parallel \leq N,\,\forall \,u\in {\mathcal {F}}$, con $N$ indipendente da $u$. Dalle disuguaglianze scritte sopra discende che $v$ è una famiglia equilimitata nello spazio delle funzioni continue e che è equicontinua. Dal teorema di Ascoli-Artzelà è possibile concludere che $Tu$ converge in $C^{0}([0,L])$, e quindi anche in ${\mathcal {L}}^{2}([0,L])$. Dunque $u$ è limitata in $C^{0}$; il che implica che $v$ è una famiglia equilimitata ed equicontinua in $C^{0}$ e dovrà ammettere una sottosuccessione uniformemente convergente in $C^{0}$ stesso e perciò anche in ${\mathcal {L}}^{2}$. Pertanto si ha:

$v_{n}\rightarrow v,\;{\text{dunque:}}$

$\parallel v_{n}-v\parallel _{L^{2}([0,L])}=\left(\int _{0}^{L}\left(v_{n}-v\right)^{2}dx\right)^{\frac {1}{2}}\leq c\max _{x\in [0,L]}\mid v_{n}(x)-v(x)\mid {\underset {n\rightarrow 0}{\rightarrow }}0$

Dunque se ${\mathcal {F}}=\left\lbrace f_{n}\right\rbrace$ è una successione limitata in $L^{2}([0,L])$ la corrispondente $T({\mathcal {F}})=\left\lbrace Tf_{n}\right\rbrace$ ammette sottosuccessione convergente in $L^{2}([0,L])-$

Per concludere si vuole dimostrare che se $K(xy)=K(yx)$ allora $T$ è simmetrico. Si ha che:

$\left\langle Tu\mid v\right\rangle _{L^{2}}=\int _{0}^{L}v\left(\int _{0}^{L}K(xy)u(y)dy\right)dx=$

$=\int _{0}^{L}\left(\int _{0}^{L}K(xy)v(x)dx\right)u(y)dy=\int _{0}^{L}\int _{0}^{L}K(yx)v(x)dxu(y)dy=\left\langle u\mid Tv\right\rangle _{L^{2}}$

Da cui segue non solo che $T$ è simmetrico e compatto, ma anche che (in virtù del teorema spettrale) esso ammette una successione di autovalori reali convergente a zero e la corrispondente successione di autovettori forma un sistema ortonormale completo su $L^{2}([0,L])$.