Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert

Nei moduli precedenti è stata derivata l'equazione delle onde nel caso monodimensionale:

$u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0$

Ora si vuole capire come è possibile studiare questa equazione per determinarne le soluzioni. In sostanza si vuole determinare $u(x;t)$ che la soddisfi. Per farlo non si risolverà esplicitamente l'equazione, ma si sfrutterà un teorema dovuto a D'Alembert.

Sia $u(x;t)\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$ soluzione dell'equazione delle onde. Allora:

$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

Con $f,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\;f,g\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$.

Il teorema di D'Alembert dunque afferma che ogni soluzione dell'equazione delle onde può sempre essere scritta come somma di un'onda progressiva, $f(x-vt)$, e di un'onda regressiva, $g(x+vt)$. Inoltre è possibile provare che, se $f,g\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$, anche $u_{+}=f(x-vt)$ e $u_{-}=g(x+vt)$ soddisfano l'equazione delle onde. Dimostriamo il teorema di D'Alembert.

Si consideri la seguente trasformazione di coordinate:

${\underline {\xi }}={\underline {x}}+{\underline {v}}t,\;{\underline {\eta }}={\underline {x}}-{\underline {v}}t$

Si nota che ${\underline {\xi }}$ e ${\underline {\eta }}$ sono lineari e invertibili. Ora si vuole scrivere l'azione dell'operatore di D'Alembert in funzione di $\xi {\text{ e }}\eta$. Essendo ${\tilde {u}}({\underline {\xi }},{\underline {\eta }})=u(x(\xi ,\eta ),t(\xi ,\eta ))$, si ha che:

$\Box _{\xi ,\eta }={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}=\left({\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=2{\frac {\partial }{\partial \xi }}2{\frac {\partial }{\partial \eta }}$

Infatti:

$2{\frac {\partial }{\partial \xi }}={\frac {\partial x}{\partial \xi }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial vt}{\partial \xi }}{\frac {\partial }{\partial vt}}={\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}$

In modo analogo si prova che $2{\frac {\partial }{\partial \eta }}={\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}$. L'equazione delle onde, espressa in funzione di $\xi$ e $\eta$, può essere dunque scritta come:

$4{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi \partial \eta }}{\tilde {u}}(\xi ,\eta )=0$

Ovvero:

${\frac {\partial }{\partial \xi }}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\tilde {u}}(\xi ,\eta )=0$

Dato che ${\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}$ non dipende da $\xi$, la si può scrivere come $F(\eta )$ e si ottiene:

${\tilde {u}}(\xi ,\eta )=\int F(\eta )+g(\xi )$

Da cui segue che:

${\tilde {u}}(\xi ,\eta )=f(\eta )+g(\xi )$

Tornando in $x,t$ si conclude che:

$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$