Equazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde

In questo modulo si riprendono alcuni risultati riguardanti l'energia per le soluzioni dell'equazione delle onde, quali: conservazione, equipartizione e unicità. In particolare si utilizzeranno la trasformata di Fourier e le sue proprietà per provare che l'energia è una costante di moto.

Innanzitutto si ha la conservazione dell'energia.

Teorema (Conservazione dell'energia)

Sia $u(x,t)$ soluzione dell'equazione delle onde. Detta

$T(u)(t)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left|{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}\right|^{2}dx$

l'energia cinetica dell'onda, e detta

$U(u)(t)={\frac {1}{2}}c^{2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\parallel \nabla u(x,t)\parallel ^{2}dx$

la sua energia potenziale, si ha che l'energia totale dell'onda è costante sulle soluzioni dell'equazione delle onde:

$E(u)(t)=T(u)(t)+U(u)(t)=E(u)(0)$

Dal precedente teorema segue immediatamente anche l'equipartizione dell'energia.

Teorema (Equipartizione dell'energia)

Sia $u(x,t)$ soluzione dell'equazione delle onde e sia $E(u)$ la sua energia. Allora si ha che

$\lim _{t\rightarrow \pm \infty }T(u)(t)=\lim _{t\rightarrow \pm \infty }U(u)(t)={\frac {1}{2}}E(u)(0)$

Da questi due risultati segue l'unicità dell'energia della soluzione dell'equazione delle onde.

Dimostrazione

Siano $u_{1},u_{2}$ due soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione delle onde:

${\begin{cases}\Box u_{i}=0\\u_{i}(0,x)=f\\\partial _{t}u_{i}(0,x)=g\end{cases}}\;\forall \,i=1,2$

Sia ora $w=u_{1}-u_{2}$. Essa soddisferà il problema di Cauchy:

${\begin{cases}\Box w=0\\w(0,x)=0\\\partial _{t}w=0\end{cases}}$

Dunque si ha che $E(w)(0)=0$, ma essendo l'energia una costante di moto dovrà essere che $E(w)(t)=0\,\forall \,t$. Segue che:

$E(u_{1})=E(u_{2})$