Equazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali

Abbiamo risolto due problemi:

• abbiamo trovato le soluzioni periodiche dell'equazione differenziale;

  $-{\frac {d^{2}}{d\Theta ^{2}}}\Theta (\theta )=\gamma \Theta (\theta )$

• abbiamo trovato le soluzioni dell'equazione di Bessel, cercando le soluzioni di $\Delta v=0$ sul disco.

Se vogliamo cercare la classe di funzioni armoniche omogenee di grado $k$ troviamo:

$f(r,\theta ,\phi )=r^{k}f(1,\theta ,\phi )=r^{k}g(\theta ,\phi )$

Riformuliamo il problema in tre dimensioni passando in coordinate polari e riscrivendo l'equazione agli autovalori. Cerchiamo soluzione armoniche omogenee di grado $k$. Sostituendo nell'equazione appena scritta per $f(r,\theta ,\phi )$ si trova:

$\Delta v=r^{k-2}\left(k(k+1)g+{\underset {{\text{Parte angolare di }}\Delta }{\underbrace {\Delta _{s^{2}}g} }}\right)=0$

Dunque dobbiamo risolvere:

$-\Delta _{s^{2}}g=k(k+1)g$

Si ritrova una risultato analogo in un altro problema importante, quello della palla di centro zero e raggio $a$; ovvero quando $\Omega =B(0,a)\subset \mathbb {R} ^{3}$. Anche nel caso della risoluzione dell'equazione di Schroedinger per l'atomo di idrogeno ci si trova a risolvere

$-\Delta \phi +{\frac {1}{r}}\phi =\lambda \phi$

Per la parte angolare abbiamo l'azione dell'operatore $\Delta _{s^{2}}$ che ci permette di determinare le autofunzioni in $\theta ,\phi$, anche dette armoniche sferiche.