Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier

Nei moduli precedenti è stata data una panoramica introduttiva riguardo alla teoria sulla trasformata di Fourier. Si è anche detto che essa è uno strumento estremamente importante nello studio dei problemi al bordo. In questo modulo (e nei due seguenti) verranno illustrati degli esempi in cui l'uso della trasformata di Fourier è fondamentale per la determinazione esplicita delle soluzioni delle equazioni delle onde e del calore.

Proviamo a risolvere l'equazione del calore

${\begin{cases}u_{t}-\Delta u=0,\;{\text{in }}(0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\\u(0,x)=g(x)\end{cases}}$

Ricordando che l'operatore $\Delta$ si "comporta bene" con la trasformata di Fourier, cerchiamo un'equazione per la trasformata di Fourier spaziale di $u$.

$u(t,x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(t,x)e^{-ikx}dx={\hat {u}}(t,k)$

Otteniamo un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine:

${\begin{cases}{\hat {u}}_{t}(t,k)+\mid k\mid ^{2}{\hat {u}}(t,k)=0\\{\hat {u}}(0,k)={\hat {g}}(k)\end{cases}}$

la cui soluzione è una gaussiana:

${\hat {u}}(t,k)={\hat {u}}(0,k)e^{-t\mid k\mid ^{2}}={\hat {g}}(k)e^{-t\mid k\mid ^{2}}$

Quindi per trovare la soluzione nelle coordinate spaziali dobbiamo applicare l'antitrasformata di Fourier:

$u(t,x)=\left({\hat {g}}(k)e^{-t|k|^{2}}\right){\check {}}$

Possiamo usare la proprietà della convoluzione poiché sappiamo che:

$(g\star F){\hat {}}=(2\pi )^{n/2}({\hat {g}}(k)\cdot {\hat {F}})$

Quindi usando:

${\hat {F}}=e^{-t|k|^{2}}\rightarrow F={\frac {1}{(2t)^{n/2}}}e^{\frac {-|x|^{2}}{4t}}$

$u(t,x)=\left({\hat {g}}(k)e^{-t|k|^{2}}\right){\check {}}={\frac {(g(x)\star F)}{(2\pi )^{n/2}}}$

Esplicitando la convoluzione si ottene la formula risolutiva:

$u(t,x)={\frac {1}{(4\pi t)^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\frac {\mid x-y\mid ^{2}}{4t}}g(y)dy$

che definisce la soluzione dell'equazione del calore in ogni dimensione.