Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche

In analogia con i due casi appena visti (corda vibrante ed equazione del calore con condizioni di Neumann) si vuole ora risolvere il problema dell'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche:

$\{\begin{array}{c}{u}_t-D{u}_{xx}=0\\ u(x;0)=u_0(x)\\ u(-L;t)=u(L;t)\\ u_x(-L;t)=u_x(L;t)\end{array},x\in [-L;L],t\in ℝ$

Anche in questo caso la strategia risolutiva che viene adottata è quella del metodo di Fourier, ovvero di separazione delle variabili: sia $u(x;t)=S(x)T(t)$.

Per la parte spaziale, anche in questo caso, si ha:

$S^{″}(x)-\alpha S(x)=0$

A differenza dei casi precedentemente studiati, ora si hanno condizioni al bordo periodiche. Questo implica che si avranno stesse soluzioni per $\alpha >0$, $\alpha =0$, $\alpha <0$, cioè che tutti i valori di $\alpha$ sono ora ammissibili. Ancora una volta si ottiene $\alpha =-k_n^2=-{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2$. Le soluzioni della parte spaziale e di quella temporale sono date da:

$S_n(x)=\{\begin{array}{c}\cos (k_{n}x)\\ \sin (k_{n}x)\end{array},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

$T_n(t)=A_n{e}^{-D{k}_n^{2}t}$

La soluzione del problema di Cauchy, con condizioni al bordo periodiche, può essere scritta come:

$u(x;t)=A_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n\cos (k_{n}x)+B_n\sin (k_{n}x))e^{-D{k}_n^{2}t}$

Il valore dei coefficienti $A_0$ e $A_n$ è dato dai coefficienti di Fourier di $u_0(x)$, fissata dalle condizioni iniziali:

$u(x;0)=A_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n\cos (k_{n}x)+B_n\sin (k_{n}x))=u_0(x)$

Si noti che mentre per le condizioni di Neumann e di Dirichlet si hanno solo seni o coseni, qui si hanno entrambi. Infatti $u(x;0)=0$ implica un prolungamento dispari naturale e $A_n=0\mathrm{\forall }n$, mentre $u_x(x;0)=0$ implica un prolungamento pari naturale e $B_n=0\mathrm{\forall }n$. Le condizioni al bordo periodiche invece rappresentano un caso più generale.

Per i valori di $A_0$, $A_n$ e $B_n$ si ha che:

$A_0=\frac{⟨S\mid u_0⟩}{⟨1\mid 1⟩}=\frac{1}{2L}{\int }_{-L}^L{u}_0(x)dx$

$A_n=\frac{⟨\cos (k_{n}x)\mid u_0⟩}{⟨\cos (k_n\cdot )\mid \cos (k_n\cdot )⟩}=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^L\cos (k_{n}x)u_0(x)dx$

$B_n=\frac{⟨\sin (k_{n}x)\mid u_0⟩}{⟨\sin (k_n\cdot )\mid \sin (k_n\cdot )⟩}=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^L\sin (k_{n}x)u_0(x)dx$

Le soluzioni $S_n(x)$ normalizzate dunque sono:

$S_n(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{L}}\cos (k_{n}x)\\ \frac{1}{\sqrt{L}}\sin (k_{n}x)\end{array}n\in \mathbb{N}$