Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche

In analogia con i due casi appena visti (corda vibrante ed equazione del calore con condizioni di Neumann) si vuole ora risolvere il problema dell'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche:

${\begin{cases}u_{t}-Du_{xx}=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u(-L;t)=u(L;t)\\u_{x}(-L;t)=u_{x}(L;t)\end{cases}},\;x\in \left[-L;L\right],\;t\in \mathbb {R}$

Anche in questo caso la strategia risolutiva che viene adottata è quella del metodo di Fourier, ovvero di separazione delle variabili: sia $u(x;t)=S(x)T(t)$.

Per la parte spaziale, anche in questo caso, si ha:

$S^{\prime \prime }(x)-\alpha S(x)=0$

A differenza dei casi precedentemente studiati, ora si hanno condizioni al bordo periodiche. Questo implica che si avranno stesse soluzioni per $\alpha >0$, $\alpha =0$, $\alpha <0$, cioè che tutti i valori di $\alpha$ sono ora ammissibili. Ancora una volta si ottiene $\alpha =-k_{n}^{2}=-\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}$. Le soluzioni della parte spaziale e di quella temporale sono date da:

$S_{n}(x)={\begin{cases}\cos(k_{n}x)\\\sin(k_{n}x)\end{cases}},\;\forall n\in \mathbb {N}$

$T_{n}(t)=A_{n}e^{-Dk_{n}^{2}t}$

La soluzione del problema di Cauchy, con condizioni al bordo periodiche, può essere scritta come:

$u(x;t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }\left(A_{n}\cos(k_{n}x)+B_{n}\sin(k_{n}x)\right)e^{-Dk_{n}^{2}t}$

Il valore dei coefficienti $A_{0}$ e $A_{n}$ è dato dai coefficienti di Fourier di $u_{0}(x)$, fissata dalle condizioni iniziali:

$u(x;0)=A_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }\left(A_{n}\cos(k_{n}x)+B_{n}\sin(k_{n}x)\right)=u_{0}(x)$

Si noti che mentre per le condizioni di Neumann e di Dirichlet si hanno solo seni o coseni, qui si hanno entrambi. Infatti $u(x;0)=0$ implica un prolungamento dispari naturale e $A_{n}=0\,\forall n$, mentre $u_{x}(x;0)=0$ implica un prolungamento pari naturale e $B_{n}=0\,\forall n$. Le condizioni al bordo periodiche invece rappresentano un caso più generale.

Per i valori di $A_{0}$, $A_{n}$ e $B_{n}$ si ha che:

$A_{0}={\frac {\left\langle S\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle 1\mid 1\right\rangle }}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}u_{0}(x)dx$

$A_{n}={\frac {\left\langle \cos(k_{n}x)\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle \cos(k_{n}\cdot )\mid \cos(k_{n}\cdot )\right\rangle }}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}\cos(k_{n}x)u_{0}(x)dx$

$B_{n}={\frac {\left\langle \sin(k_{n}x)\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle \sin(k_{n}\cdot )\mid \sin(k_{n}\cdot )\right\rangle }}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}\sin(k_{n}x)u_{0}(x)dx$

Le soluzioni $S_{n}(x)$ normalizzate dunque sono:

$S_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {L}}}\cos(k_{n}x)\\{\frac {1}{\sqrt {L}}}\sin(k_{n}x)\end{cases}}\;n\in \mathbb {N}$