Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann

Si vuole ora studiare l'equazione del calore, con condizioni al bordo di Neumann:

$\{\begin{array}{c}{u}_t-D{u}_{xx}=0\\ u(x;0)=u_0(x)\\ u_x(0;t)=u_x(L;t)=0\end{array},x\in (0;L),t>0$

Usando lo stesso metodo risolutivo adottato per risolvere l'equazione della corda vibrante con estremi fissi, ovvero il metodo di separazione delle variabili, si ha:

$\frac{1}{D}\frac{\dot{T}(t)}{T(t)}=\frac{S^{\prime \prime }(x)}{S(x)}=\alpha$

Per la parte spaziale si ottiene:

$\{\begin{array}{c}{S}^{\prime \prime }(x)-\alpha S(x)=0\\ S^{\prime }(0)=S^{\prime }(L)=0\end{array}$

Anche in questo caso, così come per la corda vibrante, è possibile osservare che i casi $\alpha >0$ e $\alpha =0$ non sono accettabili perché si otterrebbe un'espressione per $S(x)$ che non soddisferebbe le condizioni iniziali. Pertanto sia $\alpha <0$. Detto $\alpha =-k^2$ si ottiene:

$S^{\prime \prime }(x)+k^{2}S(x)=0$

$S(x)=A\cos (kx)+B\sin (kx)$

$S^{\prime }(L)=0=-A\sin (kL)\Rightarrow k_n=\frac{n\pi }{L}$

Dunque le soluzioni per la parte spaziale sono date da:

$S_n(x)=B\cos (k_{n}x),n\ge 0$

Si osservi che il caso $n=0$ dà $S_0(x)=B=cost$: in questo caso non è un problema, a differenza del caso della corda vibrante con estremi fissi, dato che le condizioni al bordo di Neumann rimangono soddisfatte. In maniera analoga si risolve l'equazione differenziale per la parte temporale e si ottiene:

$T(t)=A_n{e}^{-D{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^{2}t}$

In definitiva, la soluzione globale del problema di Cauchy studiato sarà data dalla combinazione lineare delle $S_n(x)T_n(t)$:

$u(x;t)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{A}_n{e}^{-D{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^{2}t}\cos (k_{n}x)$

La soluzione appena trovata deve soddisfare anche le condizioni iniziali, pertanto è necessario che:

$u(x;0)=A_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{A}_n\cos \left(\frac{n\pi }{L}x\right)=u_0(x)$

I coefficienti $A_0$ e $A_n$, come nel caso della corda vibrante, non sono altro che i coefficienti di Fourier di $u_0(x)$. Anche in questo caso è possibile concludere che le soluzioni spaziali costituiscono un sistema ortogonale in $L^2([0;L])$ che può essere normalizzato in maniera tale da far sì che esso costituisca un sistema ortonormale completo.