Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann

Si vuole ora studiare l'equazione del calore, con condizioni al bordo di Neumann:

${\begin{cases}u_{t}-Du_{xx}=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u_{x}(0;t)=u_{x}(L;t)=0\end{cases}},\;x\in (0;L),\,t>0$

Usando lo stesso metodo risolutivo adottato per risolvere l'equazione della corda vibrante con estremi fissi, ovvero il metodo di separazione delle variabili, si ha:

${\frac {1}{D}}{\frac {{\dot {T}}(t)}{T(t)}}={\frac {S^{\prime \prime }(x)}{S(x)}}=\alpha$

Per la parte spaziale si ottiene:

${\begin{cases}S^{\prime \prime }(x)-\alpha S(x)=0\\S^{\prime }(0)=S^{\prime }(L)=0\end{cases}}$

Anche in questo caso, così come per la corda vibrante, è possibile osservare che i casi $\alpha >0$ e $\alpha =0$ non sono accettabili perché si otterrebbe un'espressione per $S(x)$ che non soddisferebbe le condizioni iniziali. Pertanto sia $\alpha <0$. Detto $\alpha =-k^{2}$ si ottiene:

$S^{\prime \prime }(x)+k^{2}S(x)=0$

$S(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)$

$S^{\prime }(L)=0=-A\sin(kL)\,\Rightarrow \,k_{n}={\frac {n\pi }{L}}$

Dunque le soluzioni per la parte spaziale sono date da:

$S_{n}(x)=B\cos(k_{n}x),\;n\geq 0$

Si osservi che il caso $n=0$ dà $S_{0}(x)=B=cost$: in questo caso non è un problema, a differenza del caso della corda vibrante con estremi fissi, dato che le condizioni al bordo di Neumann rimangono soddisfatte. In maniera analoga si risolve l'equazione differenziale per la parte temporale e si ottiene:

$T(t)=A_{n}e^{-D\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}t}$

In definitiva, la soluzione globale del problema di Cauchy studiato sarà data dalla combinazione lineare delle $S_{n}(x)T_{n}(t)$:

$u(x;t)=\sum _{n=0}^{+\infty }A_{n}e^{-D\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}t}\cos(k_{n}x)$

La soluzione appena trovata deve soddisfare anche le condizioni iniziali, pertanto è necessario che:

$u(x;0)=A_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }A_{n}\cos \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)=u_{0}(x)$

I coefficienti $A_{0}$ e $A_{n}$, come nel caso della corda vibrante, non sono altro che i coefficienti di Fourier di $u_{0}(x)$. Anche in questo caso è possibile concludere che le soluzioni spaziali costituiscono un sistema ortogonale in $L^{2}(\left[0;L\right])$ che può essere normalizzato in maniera tale da far sì che esso costituisca un sistema ortonormale completo.