Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet

Continuiamo a occuparci dell'equazione delle onde: si vuole studiare il problema di Cauchy per un dominio limitato $[0;L]$. Dalla limitatezza del dominio segue la necessità di condizioni al bordo di Dirichlet. Quindi, il problema studiato è:

$\{\begin{array}{c}◻u=0\\ u(x;0)=u_0(x)\\ u_t(x;0)=v_0(x)\\ u(0;t)=u(L;t)=0\end{array},x\in [0;L],t\in ℝ$

Si procede alla risoluzione di questo problema di Cauchy usando il metodo di separazione delle variabili. Pertanto sia $u(x;t)=S(x)T(t)$ l'espressione attesa per la soluzione. Deve valere:

$\frac{1}{v^2}S(x)\ddot{T}(t)-S^{″}(x)T(t)=0$

Si osserva che $u(x;t)\ne 0$ perché non avrebbe senso fisico e non soddisferebbe le condizioni iniziali. Pertanto è lecito dividere ambo i lati dell'equazione appena scritta per $u(x;t)$ e ottenere:

$\frac{1}{v^2}\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)}-\frac{S^{″}(x)}{S(x)}=0$

Ovvero:

$\frac{1}{v^2}\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)}=\frac{S^{″}(x)}{S(x)}=\alpha$

Dove è necessario imporre l'uguaglianza ad una costante dal momento che i due membri dell'uguaglianza appena scritta dipendono da due variabili distinte. In definitiva si ottengono due equazioni differenziali, una per la parte spaziale e una per quella temporale di $u(x;t)$:

$\{\begin{array}{c}\ddot{T}(t)-\alpha v^{2}T(t)=0\\ S^{″}(x)-\alpha S(x)=0\end{array}$

Iniziamo risolvendo l'equazione per la parte spaziale: $\alpha$ può essere maggiore, minore oppure uguale a zero. I casi $\alpha >0$ e $\alpha =0$ non sono ammissibili; infatti se $\alpha >0$ avremmo:

$S(x)=A\cosh (\sqrt{\alpha }x)+B\sinh (\sqrt{\alpha }x)$

Tuttavia questa soluzione implicherebbe che $u(x;t)=0$, che è l'unica possibilità per far si che vengano soddisfatte sia le condizioni iniziali che quelle al bordo. Chiaramente una soluzione di questo tipo è priva di significato, dal momento che rappresenta una funzione d'onda identicamente nulla nello spazio e nel tempo, pertanto viene scartata.

Se $\alpha =0$ avremmo:

$S(x)=Ax+B$

Tuttavia, sempre per dover soddisfare le condizioni iniziali al bordo, anche in questo caso si avrebbe $u(x;t)=0$.

Necessariamente si dovrà avere $\alpha <0$. Sia $\alpha =-k^2$. Per la parte spaziale si ottiene:

$S(x)=A\cos (kx)+B\sin (kx)$

Per le condizioni al bordo si ha:

$S(0)=A=0$

$S(L)=B\sin (kL)=0\Rightarrow kL=n\pi$

Si conclude quindi che, posto $\alpha <0$, esistono infinite soluzioni, tuttavia quantizzate, per la parte spaziale. Esse corrispondono a tutti quei $k_n=\frac{n\pi }{L}$:

$S_n(x)=B\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)$

Per la parte temporale occorre risolvere:

$\ddot{T}(t)-\alpha v^{2}T(t)=0$

Procedendo in maniera del tutto analoga a quanto si è fatto per la parte spaziale si ricava:

$T_n(t)=A_n\cos (k_{n}vt)+B_n\sin (k_{n}vt)$

Si conclude quindi che una soluzione del problema di Cauchy studiato è:

$u_n(x;t)=[A_n\cos (k_{n}vt)+B_n\sin (k_{n}vt)]\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right),\mathrm{\forall }n$

Si osserva che anche combinando tra loro le varie $u_n(x;t)$ si trova una soluzione del problema di Cauchy che soddisfa le condizioni iniziali e quelle al bordo. Pertanto anche la seguente è soluzione:

$u(x;t)=\sum _{n\ge 1}([A_n\cos (k_{n}vt)+B_n\sin (k_{n}vt)]\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right))$

con condizioni iniziali soddisfatte per:

$\{\begin{array}{c}u(0;x)=\sum _{n\ge 1}{A}_n\sin (k_{n}x)=u_0(x)\\ u_t(0;x)=\sum _{n\ge 1}v{k}_n{B}_n\sin (k_{n}x)=v_0(x)\end{array}$

Ovvero, la soluzione trovata soddisfa le condizioni iniziali quando è risolvibile il sistema appena scritto. Questo significa che è sufficiente determinare i coefficienti di Fourier delle funzioni, per ipotesi note, $u_0(x)$ e $v_0(x)$. Richiedendo inoltre che le soluzioni della parte spaziale siano tra loro ortogonali si ricava che:

${\int }_0^L{S}_n(x)S_m(x)dx=\{\begin{array}{c}1,n=m\\ 0,n\ne m\end{array}\equiv {\delta }_{n,m}$

Ovvero:

$S_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)$

Si conclude quindi che ${\left\{S_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ rappresenta un sistema ortonormale in $L^2([0;L])$. Concludiamo osservando che, come già detto sopra, è possibile prendere $u(x;t)$ nella forma:

$u(x;t)=\sum _{n\ge 1}([A_n\cos (k_{n}vt)+B_n\sin (k_{n}vt)]\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right))$

Tuttavia, affinché questa espressione soddisfi anche le condizioni iniziali, è necessario che $A_n$ e $B_n$, che come già detto sono coefficienti di Fourier, siano dati da:

$A_n=⟨u_0\mid S_n⟩$

$B_n=\frac{1}{v{k}_n}⟨v_0\mid S_n⟩$