Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet

Continuiamo a occuparci dell'equazione delle onde: si vuole studiare il problema di Cauchy per un dominio limitato $\left[0;L\right]$. Dalla limitatezza del dominio segue la necessità di condizioni al bordo di Dirichlet. Quindi, il problema studiato è:

${\begin{cases}\Box u=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u_{t}(x;0)=v_{0}(x)\\u(0;t)=u(L;t)=0\end{cases}},\;x\in \left[0;L\right],\;t\in \mathbb {R}$

Si procede alla risoluzione di questo problema di Cauchy usando il metodo di separazione delle variabili. Pertanto sia $u(x;t)=S(x)T(t)$ l'espressione attesa per la soluzione. Deve valere:

${\frac {1}{v^{2}}}{S(x){\ddot {T}}(t)}-S^{\prime \prime }(x)T(t)=0$

Si osserva che $u(x;t)\neq 0$ perché non avrebbe senso fisico e non soddisferebbe le condizioni iniziali. Pertanto è lecito dividere ambo i lati dell'equazione appena scritta per $u(x;t)$ e ottenere:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {{\ddot {T}}(t)}{T(t)}}-{\frac {S^{\prime \prime }(x)}{S(x)}}=0$

Ovvero:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {{\ddot {T}}(t)}{T(t)}}={\frac {S^{\prime \prime }(x)}{S(x)}}=\alpha$

Dove è necessario imporre l'uguaglianza ad una costante dal momento che i due membri dell'uguaglianza appena scritta dipendono da due variabili distinte. In definitiva si ottengono due equazioni differenziali, una per la parte spaziale e una per quella temporale di $u(x;t)$:

${\begin{cases}{\ddot {T}}(t)-\alpha v^{2}T(t)=0\\S^{\prime \prime }(x)-\alpha S(x)=0\end{cases}}$

Iniziamo risolvendo l'equazione per la parte spaziale: $\alpha$ può essere maggiore, minore oppure uguale a zero. I casi $\alpha >0$ e $\alpha =0$ non sono ammissibili; infatti se $\alpha >0$ avremmo:

$S(x)=A\cosh({\sqrt {\alpha }}x)+B\sinh({\sqrt {\alpha }}x)$

Tuttavia questa soluzione implicherebbe che $u(x;t)=0$, che è l'unica possibilità per far si che vengano soddisfatte sia le condizioni iniziali che quelle al bordo. Chiaramente una soluzione di questo tipo è priva di significato, dal momento che rappresenta una funzione d'onda identicamente nulla nello spazio e nel tempo, pertanto viene scartata.

Se $\alpha =0$ avremmo:

$S(x)=Ax+B$

Tuttavia, sempre per dover soddisfare le condizioni iniziali al bordo, anche in questo caso si avrebbe $u(x;t)=0$.

Necessariamente si dovrà avere $\alpha <0$. Sia $\alpha =-k^{2}$. Per la parte spaziale si ottiene:

$S(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)$

Per le condizioni al bordo si ha:

$S(0)=A=0$

$S(L)=B\sin(kL)=0\;\Rightarrow kL=n\pi$

Si conclude quindi che, posto $\alpha <0$, esistono infinite soluzioni, tuttavia quantizzate, per la parte spaziale. Esse corrispondono a tutti quei $k_{n}={\frac {n\pi }{L}}$:

$S_{n}(x)=B\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$

Per la parte temporale occorre risolvere:

${\ddot {T}}(t)-\alpha v^{2}T(t)=0$

Procedendo in maniera del tutto analoga a quanto si è fatto per la parte spaziale si ricava:

$T_{n}(t)=A_{n}\cos(k_{n}vt)+B_{n}\sin(k_{n}vt)$

Si conclude quindi che una soluzione del problema di Cauchy studiato è:

$u_{n}(x;t)=\left[A_{n}\cos(k_{n}vt)+B_{n}\sin(k_{n}vt)\right]\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right),\;\forall \,n$

Si osserva che anche combinando tra loro le varie $u_{n}(x;t)$ si trova una soluzione del problema di Cauchy che soddisfa le condizioni iniziali e quelle al bordo. Pertanto anche la seguente è soluzione:

$u(x;t)=\sum _{n\geq 1}\left(\left[A_{n}\cos(k_{n}vt)+B_{n}\sin(k_{n}vt)\right]\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)\right)$

con condizioni iniziali soddisfatte per:

${\begin{cases}u(0;x)=\sum _{n\geq 1}A_{n}\sin(k_{n}x)=u_{0}(x)\\u_{t}(0;x)=\sum _{n\geq 1}vk_{n}B_{n}\sin(k_{n}x)=v_{0}(x)\end{cases}}$

Ovvero, la soluzione trovata soddisfa le condizioni iniziali quando è risolvibile il sistema appena scritto. Questo significa che è sufficiente determinare i coefficienti di Fourier delle funzioni, per ipotesi note, $u_{0}(x)$ e $v_{0}(x)$. Richiedendo inoltre che le soluzioni della parte spaziale siano tra loro ortogonali si ricava che:

$\int _{0}^{L}S_{n}(x)S_{m}(x)dx={\begin{cases}1,\;n=m\\0,\;n\neq m\end{cases}}\equiv \delta _{n,m}$

Ovvero:

$S_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$

Si conclude quindi che $\left\lbrace S_{n}\right\rbrace _{n=1}^{\infty }$ rappresenta un sistema ortonormale in $L^{2}([0;L])$. Concludiamo osservando che, come già detto sopra, è possibile prendere $u(x;t)$ nella forma:

$u(x;t)=\sum _{n\geq 1}\left(\left[A_{n}\cos(k_{n}vt)+B_{n}\sin(k_{n}vt)\right]\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)\right)$

Tuttavia, affinché questa espressione soddisfi anche le condizioni iniziali, è necessario che $A_{n}$ e $B_{n}$, che come già detto sono coefficienti di Fourier, siano dati da:

$A_{n}=\left\langle u_{0}\mid S_{n}\right\rangle$

$B_{n}={\frac {1}{vk_{n}}}\left\langle v_{0}\mid S_{n}\right\rangle$