Equazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni

Nel modulo precedente abbiamo osservato che a ogni funzione integrabile su compatti di ${ℝ}^n$ è possibile associare un funzionale lineare definito come $T_f={\int }_{\mathrm{\Omega }}f\varphi dx$, $\mathrm{\forall }\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$. In questo modulo vogliamo capire meglio quali siano le proprietà di questo funzionale lineare per darne una caratterizzazione più dettagliata. Innanzitutto è necessario introdurre il concetto di topologia su ${(C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }))}^{\star }$ per poter poi definire il concetto di continuità di questo funzionale lineare $T_f$. Per poter definire la topologia sul duale si inizia definendo quella su $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$. Tuttavia, data una successione $\left\{{\varphi }_n\right\}$ in $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ si hanno due problemi nel voler definire quando ${\varphi }_n\to \varphi$ perché:

• si deve richiedere che anche $\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ e quindi occorre convergenza uniforme su tutte le derivate;
• si deve richiedere che ${\varphi }_n$ abbiano tutti lo stesso supporto, altrimenti si rischierebbe di avere ${\varphi }_n\to \varphi$ su $\partial \mathrm{\Omega }$

Pertanto per definire il concetto di topologia su $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ è necessario richiedere che tutti i ${\varphi }_n$ abbiano stesso supporto compatto $K$ e che $\mathrm{\forall }x\in K$ si abbia sup $\underset{x\in K}{sup}\mid {\partial }^{\alpha }{\varphi }_n-{\partial }^{\alpha }\varphi \mid \underset{n\to 0}{\to }0,\mathrm{\forall }\alpha$ multiindice. Avendo definito il concetto di topologia su $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, ora è possibile definire quello sul suo duale.

Definizione

Sia $T_f\in {(C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }))}^{\star }$. Si dice che esso è continuo se

$T_f({\varphi }_n)\to T_f(\varphi ),\mathrm{\forall }{\varphi }_n\underset{C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}{\to }\varphi$

Da cui segue la definizione di distribuzione:

Definizione

Si definisce distribuzione un funzionale lineare continuo sulle funzioni di test, ovvero continuo su $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$.

Osserviamo che $T_f$ definito sopra è effettivamente una distribuzione, infatti si ha che:

$|T_f({\varphi }_n)|=|{\int }_{\mathrm{\Omega }}f(x)\varphi (x)dx|\le \underset{x\in K}{sup}|{\varphi }_n(x)|\int f(x)dx\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\to }0$

Dunque:

$T_f({\varphi }_n)\to T_f(0),\text{ se }{\varphi }_n\to 0$

Quindi effettivamente $T_f$ è una distribuzione.

Lo spazio delle funzioni test, $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, spesso si indica con $𝒟(\mathrm{\Omega })$, mentre il suo duale algebrico con ${𝒟}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$ ed è detto spazio delle distribuzioni. Nel caso in cui $\mathrm{\Omega }={ℝ}^n$ si omette in $𝒟$ e ${𝒟}^{\prime }$. Diamo ora la definizione di supporto di una distribuzione:

Definizione

$T\in {𝒟}^{\prime }$ si annulla nell'aperto $A\subset {ℝ}^n$ se $T_f(\varphi )=0\mathrm{\forall }\varphi \in 𝒟(A)$. Si consideri $\bigcup A$, unione degli aperti su cui $T$ si annulla. Il complementare di questo insieme, che sarà chiuso, si dice supporto di $T$.

Nel modulo successivo vedremo che in realtà non tutte le distribuzioni sono come $T_f$. $T_f$ è detta distribuzione regolare, tuttavia esistono anche delle distribuzioni singolari, come la $\delta$ di Dirac e il valor principale di $\frac{1}{x}$ che saranno oggetto di studio del prossimo modulo.