Equazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni

In questo modulo definiremo il concetto di convoluzione e ne daremo una caratterizzazione nel contesto della teoria delle distribuzioni.

Definizione

Date $f,g\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})$ si definisce convoluzione la quantità:

$f\star g=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)dy$

Così come per la trasformata di Fourier, anche l'estensione di questo concetto in teoria delle distribuzioni risulta leggermente problematico. Infatti, definendo per estensione la distribuzione associata alla convoluzione $f\star g$ si avrebbe:

$(f\star g)\phi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}(f\star g)(x)\phi (x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)dy\right)\phi (x)dx=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(y)\phi (x+y)dxdy$

Tuttavia non si ha la possibilità di concludere che se $\phi (x)$ è a supporto compatto, anche $\phi (x+y)$ lo sia e quindi non si può concludere che quella scritta sopra sia una distribuzione. Essa lo è a patto che almeno una tra $f$ e $g$ sia a supporto compatto.

Definizione

Siano $S,T$ due distribuzioni, di cui almeno una a supporto compatto. Si definisce convoluzione di $S$ e $T$ la quantità:

$S_{y}\star T_{x}(\phi )=S_{y}\left(T_{x}(\phi (x+y))\right)$

Nel caso in cui $T$ sia a supporto compatto.

Nella definizione, a pedice delle due distribuzioni, è indicata la variabile da cui esse dipendono.

Per esempio, sia $S_{y}$ una generica distribuzione e $T_{x}=\delta _{0}$. In questo caso si ha:

$S_{y}\star \delta _{0}(\phi )=S_{y}\delta _{0}\left(\phi (x+y)\right)=S_{y}\phi (y)$

Ovvero: $S\star \delta =S,\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }$. Si può provare che pure $\delta \star S=S$, così da poter concludere che la delta di Dirac è l'unità rispetto alla convoluzione di distribuzioni.

Le convoluzioni sono assai utili nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali. Innanzitutto si consideri la seguente definizione:

Definizione

Dato un qualsiasi operatore differenziale $P(\partial )$, una funzione $\Phi$ si definisce soluzione fondamentale per $P(\partial )$ se si ha

$P(\partial )\Phi =\delta _{0}$

Vediamo l'utilità di quanto appreso in questo modulo. Data

$P(\partial )\left[\Phi \star f\right]={\underset {\delta _{0}}{\underbrace {\left(P(\partial _{x})\Phi _{x}\right)} }}\star f=f$

dove il secondo passaggio è giustificato dal fatto che l'operatore $P(\partial )$ vedrà solo una tra $\Phi$ e $f$, a seconda di quale sia la variabile su cui esso agisce. In sostanza si ha che

$P(\partial )\left[\Phi \star f\right]=f$

Dunque, se $\Phi$, soluzione fondamentale di $P(\partial )$, è nota, si potrà concludere che pure $u=\Phi \star f$ è soluzione di $P(\partial )u=f$.