Equazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione

Nel definire la trasformata di Fourier per una distribuzione, si potrebbe essere tentati dal seguire la definizione di derivata di una funzione e assumere che data una certa distribuzione $T(\phi )$ la sua trasformata di Fourier possa essere definita come:

${\mathcal {F}}T(\phi )=T({\mathcal {F}}\phi )$

In realtà questa definizione presenta un problema di fondo. Infatti se $\phi \in {\mathcal {D}}$, non si avrà che pure ${\mathcal {F}}\phi \in {\mathcal {D}}$, perché una funzione olomorfa non potrà essere $C_{0}^{\infty }$. La definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione necessita dunque alcune accortezze. Prendendo come classe di funzioni test delle funzioni di classe Schwarz, si ovvia a questo problema. Chiaramente una scelta di questo tipo vincola lo spazio delle distribuzioni, che non potrà più essere tutto ${\mathcal {D}}^{\prime }$ ma sarà uno spazio più piccolo, detto delle distribuzioni temperate. Quindi, a patto di prendere funzioni test di classe Schwarz e distribuzioni temperate è possibile definire la trasformata di Fourier in questo caso:

Definizione

Sia $T\in S^{\prime }$ una distribuzione temperata e sia $\phi \in S$ una funzione di test. Allora la trasformata di Fourier di $T$ si definisce come segue:

${\mathcal {F}}T(\phi )=T({\mathcal {F}}\phi )$

Ad esempio, per la delta di Dirac, sia $T=\delta _{0}$. Applicando la definizione appena data si ha:

${\mathcal {F}}\delta _{0}(\phi )=\delta _{0}({\mathcal {F}}\phi )=\delta _{0}\left({\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ikx}\phi (x)dx\right)=$

$={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)dx=T_{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}(\phi )$

Quindi, la trasformata di Fourier di una delta di Dirac è una costante:

${\mathcal {F}}\delta _{0}={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}$