Equazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione

Nel definire la trasformata di Fourier per una distribuzione, si potrebbe essere tentati dal seguire la definizione di derivata di una funzione e assumere che data una certa distribuzione $T(\varphi )$ la sua trasformata di Fourier possa essere definita come:

$ℱT(\varphi )=T(ℱ\varphi )$

In realtà questa definizione presenta un problema di fondo. Infatti se $\varphi \in 𝒟$, non si avrà che pure $ℱ\varphi \in 𝒟$, perché una funzione olomorfa non potrà essere $C_0^{\mathrm{\infty }}$. La definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione necessita dunque alcune accortezze. Prendendo come classe di funzioni test delle funzioni di classe Schwarz, si ovvia a questo problema. Chiaramente una scelta di questo tipo vincola lo spazio delle distribuzioni, che non potrà più essere tutto ${𝒟}^{\prime }$ ma sarà uno spazio più piccolo, detto delle distribuzioni temperate. Quindi, a patto di prendere funzioni test di classe Schwarz e distribuzioni temperate è possibile definire la trasformata di Fourier in questo caso:

Definizione

Sia $T\in S^{\prime }$ una distribuzione temperata e sia $\varphi \in S$ una funzione di test. Allora la trasformata di Fourier di $T$ si definisce come segue:

$ℱT(\varphi )=T(ℱ\varphi )$

Ad esempio, per la delta di Dirac, sia $T={\delta }_0$. Applicando la definizione appena data si ha:

$ℱ{\delta }_0(\varphi )={\delta }_0(ℱ\varphi )={\delta }_0(\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-ikx}\varphi (x)dx)=$

$=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{ℝ}^n}\varphi (x)dx=T_{\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}}}(\varphi )$

Quindi, la trasformata di Fourier di una delta di Dirac è una costante:

$ℱ{\delta }_0=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}}$