Equazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson

Nel modulo precedente si è ricavata un'espressione per le soluzioni dell'equazione di Poisson. Ora ci si chiede se la forma trovata sia l'unica espressione che una soluzione dell'equazione di Poisson può avere. La risposta a questa domanda è data dal seguente teorema.

Teorema (1)

Sia $f\in C_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ tale che $-\Delta u=f$. Allora tutte le soluzioni limitate dell'equazione di Poisson sono della forma:

$u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy+c$

Abbiamo già provato nel modulo precedente che una funzione della forma $u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy$ risolve l'equazione di Poisson, quindi chiaramente la forma analitica data per $u(x)$ qui sopra, essendo semplicemente una traslazione della soluzione dell'equazione di Poisson, sarà anche essa soluzione. Dimostriamo ora che essa è anche limitata e che tutte le soluzioni devono avere la forma data dal teorema appena enunciato.

Dimostrazione

Si ha che:

$\left|\int _{mathbb{R}^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy\right|\leq \left|\int _{B(x,\epsilon )}\Phi (x-y)f(y)dy+\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B(x,\epsilon )}\Phi (x-y)f(y)dy\right|$

$\leq \left|\int _{B}\Phi (x-y)f(y)dy\right|+\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B}\Phi (x-y)f(y)dy\right|\leq$

$\leq \parallel f\parallel _{B(x,\epsilon )}\int _{B(x,\epsilon )}\left|\Phi (x-y)\right|dy+\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus B(x,\epsilon )}\Phi (x-y)\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B(x,\epsilon )}f(y)dy\leq$

$\leq cost.$

Si ha quindi che $u(x)$ è limitata ed è soluzione dell'equazione di Poisson. Occorre ora provare che tutte le soluzioni hanno la forma di cui parla il teorema. Per farlo si consideri $w(x)=u(x)-{\tilde {u}}(x)$, dove $u(x)$ è quella appena trovata e ${\tilde {u}}(x)$ è una generica soluzione dell'equazione di Poisson. Chiaramente, per costruzione, $w(x)$ è una funzione armonica ed è pure limitata pertanto, dal teorema di Liouville, segue che essa è pure costante. Segue quindi che tutte le soluzioni limitate dell'equazione di Poisson, hanno forma:

$u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy+c$